人教版数学 九年级中考专题《等腰三角形的存在性问题》

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1、动点问题之等腰三角形例1.如图1,抛物线y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0)的对称轴为y轴,且经过(0,0)和(,)两点,点P在该抛物线上运动,以点P为圆心的⊙P总经过定点A(0,2).(1)求a、b、c的值;(2)求证:在点P运动的过程中,⊙P始终与x轴相交;(3)设⊙P与x轴相交于M(x1,0)、N(x2,0)(x2>x1)两点,当△AMN为等腰三角形时,求圆心P的纵坐标.图1例2.如图,直角梯形ABCO的两边OA、OC在坐标轴的正半轴上,BC//x轴,OA=OC=4,以直线x=1为对称轴的抛物线经过A、B、C三点.(1)求该抛物线的函数解析式;(2)已知直线l的解析式为

2、y=x+m,它与x轴交于点G,在梯形ABCO的一边上取点P.①如图1,当m=0时,点P是抛物线的对称轴与BC的交点,过点P作PH⊥直线l于点H,连结OP,试求△OPH的面积;②如图2,当m=-3时,过点P作x轴、直线l的垂线,垂足分别为E、F.是否存在这样的点P,使以P、E、F为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.图1图2例3.如图1,已知在平行四边形ABCD中,AB=5,BC=8,cosB=,点P是边BC上的动点,以CP为半径的圆C与边AD交于点E、F(点F在点E的右侧),射线CE与射线BA交于点G.(1)当圆C经过点A时,求CP的长;(2)连结AP

3、,当AP//CG时,求弦EF的长;(3)当△AGE是等腰三角形时,求圆C的半径长.图1备用图例4.如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,tanB=,点P是线段AB上的一个动点,以点P为圆心,PA为半径的⊙P与射线AC的另一个交点为D,射线PD交射线BC于点E,点Q是线段BE的中点.(1)当点E在BC的延长线上时,设PA=x,CE=y,求y关于x的函数关系式,并写出定义域;(2)以点Q为圆心,QB为半径的⊙Q和⊙P相切时,求⊙P的半径;(3)射线PQ与⊙P相交于点M,连结PC、MC,当△PMC是等腰三角形时,求AP的长.图1备用图1备用图2例5.如图1,已知在△ABC中,A

4、B=AC=10,tan∠B=.(1)求BC的长;(2)点D、E分别是AB、AC的中点,不重合的两动点M、N在边BC上(点M、N不与点B、C重合),且点N始终在点M的右边,连结DN、EM交于点O.设MN=x,四边形ADOE的面积为y.①求y与x的函数关系式,并写出定义域;②当△OMN是等腰三角形且BM=1时,求MN的长.图1例6.在⊙O中,OC⊥弦AB,垂足为C,点D在⊙O上.(1)如图1,已知OA=5,AB=6,如果OD//AB,CD与半径OB相交于点E,求DE的长;(2)已知OA=5,AB=6,如果射线OD与AB的延长线相交于点F,且△OCD是等腰三角形,求AF的长;(3)如果OD//

5、AB,CD⊥OB,垂足为E,求sin∠ODC的值.图1备用图例7.如图1,二次函数y=-x2+bx的图象与x轴的正半轴交于点A(4,0),过点A的直线与y轴的正半轴交于点B,与二次函数的图象交于另一点C,过点C作CH⊥x轴,垂足为H.设二次函数图象的顶点为D,其对称轴与直线AB及x轴分别交于点E和F.(1)求这个二次函数的解析式;(2)如果CE=3BC,求点B的坐标;(3)如果△DHE是以DH为底边的等腰三角形,求点E的坐标.图1例8.如图1,在△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=60°,点E是∠BAC的平分线上一点,过点E作AE的垂线,过点A作AB的垂线,两垂线交于点D,连结DB,

6、点F是BD的中点,DH⊥AC,垂足为H,连结EF、HF.(1)如图1,若点H是AC的中点,AC=2,求AB、BD的长;(2)如图1,求证:HF=EF.(3)如图2,连结CF、CE,猜想:△CEF是否是等边三角形?若是,请证明;若不是,请说明理由.图1图2

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