初一数学竞赛讲座(1)

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1、初一数学竞赛讲座(1)自然数的有关性质 一、一、知识要点1、最大公约数定义1 如果a1,a2,…,an和d都是正整数,且d∣a1,d∣a2,…,d∣an,那么d叫做a1,a2,…,an的公约数。公约数中最大的叫做a1,a2,…,an的最大公约数,记作(a1,a2,…,an).如对于4、8、12这一组数,显然1、2、4都是它们的公约数,但4是这些公约数中最大的,所以4是它们的最大公约数,记作(4,8,12)=4.2、 最小公倍数定义2 如果a1,a2,…,an和m都是正整数,且a1∣m,a2∣m,…,an∣m,那么m叫做a1,a2,…,an的公倍数。公倍数中最小的数叫做

2、a1,a2,…,an的最小公倍数,记作[a1,a2,…,an].如对于4、8、12这一组数,显然24、48、96都是它们的公倍数,但24是这些公倍数中最小的,所以24是它们的最小公倍数,记作[4,8,12]=24.3、 最大公约数和最小公倍数的性质性质1若a∣b,则(a,b)=a.性质2若(a,b)=d,且n为正整数,则(na,nb)=nd.性质3若n∣a,n∣b,则.性质4若a=bq+r(0≤r

3、a,nb]=nm.性质7若n∣a,n∣b,则.1、数的整除性定义3 对于整数a和不为零的整数b,如果存在整数q,使得a=bq成立,则就称b整除a或a被b整除,记作b∣a,若b∣a,我们也称a是b倍数;若b不能整除a,记作ba2、 数的整除性的性质性质1若a∣b,b∣c,则a∣c性质2若c∣a,c∣b,则c∣(a±b)性质3若b∣a,n为整数,则b∣na3、 同余定义4设m是大于1的整数,如果整数a,b的差被m整除,我们就说a,b关于模m同余,记作a≡b(modm)4、 同余的性质性质1如果a≡b(modm),c≡d(modm),那么a±c≡b±d(modm),ac≡b

4、d(modm)性质2如果a≡b(modm),那么对任意整数k有ka≡kb(modm)性质3如果a≡b(modm),那么对任意正整数k有ak≡bk(modm)性质4如果a≡b(modm),d是a,b的公约数,那么一、二、例题精讲例1设m和n为大于0的整数,且3m+2n=225.如果m和n的最大公约数为15,求m+n的值(第11届“希望杯”初一试题)解:(1)因为(m,n)=15,故可设m=15a,n=15b,且(a,b)=1因为3m+2n=225,所以3a+2b=15因为a,b是正整数,所以可得a=1,b=6或a=b=3,但(a,b)=1,所以a=1,b=6从而m+n=

5、15(a+b)=157=105评注:1、遇到这类问题常设m=15a,n=15b,且(a,b)=1,这样可把问题转化为两个互质数的求值问题。这是一种常用方法。2、思考一下,如果将m和n的最大公约数为15,改成m和n的最小公倍数为45,问题如何解决? 例2 有若干苹果,两个一堆多一个,3个一堆多一个,4个一堆多一个,5个一堆多一个,6个一堆多一个,问这堆苹果最少有多少个?分析:将问题转化为最小公倍数来解决。解 设这堆苹果最少有x个,依题意得 由此可见,x-1是2,3,4,5,6的最小公倍数因为 [2,3,4,5,6]=60,所以x-1=60,即x=61答:这堆苹果最少有6

6、1个。 例3 自然数a1,a2,a3,…,a9,a10的和1001等于,设d为a1,a2,a3,…,a9,a10的最大公约数,试求d的最大值。解 由于d为a1,a2,a3,…,a9,a10的最大公约数,所以和a1+a2+a3+…+a9+a10=1001能被d整除,即d是1001=71113的约数。因为d½ak,所以ak≥d,k=1,2,3,…,10  从而1001=a1+a2+a3+…+a9+a10≥10d所以  由d能整除1001得,d仅可能取值1,7,11,13,77,91。因为1001能写成10个数的和:91+91+91+91+91+91+91+91+91+18

7、2其中每一个数都能被91整除,所以d能达到最大值91 例4某商场向顾客发放9999张购物券,每张购物券上印有四位数码,从0001到9999号,如果号码的前两位之和等于后两位之和,则这张购物券为幸运券,如号码0734,因0+7=3+4,所以这个号码的购物券为幸运券。证明:这个商场所发购物券中,所有幸运券的号码之和能被101整除。(第7届初中“祖冲之杯”数学邀请赛试题)证明:显然,9999的购物券为幸运券,除这张外,若号码为n的购物券为幸运券,则号码为m=9999-n的购物券也为幸运券。由于9999是奇数,所以m,n的奇偶性不同,即m≠n,由于m+n=9

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