初二数学第二单元

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四、典型例题(一)、角平分线+平行线1、在△ABC中,三内角互不相等,BO平分∠ABC,CO平分∠ACB。过O点作EF, 使EF∥BC。(1)图中有几个等腰三角形?(2)猜测线段BE、CF、EF有什么数量关系,并说明理由。 2、在△ABC中,∠ABC=∠ACB,BO平分∠ABC, CO平分∠ACB,过O点作EF,使EF∥BC,且∠EBO=30°。若BE=5,△ABC的周长为_________。(二)、角平分线+垂线3、如图:AB=AC,∠1=∠2,AE⊥CD于F交BC于点E,求证:AB=CE。4、如图,△ABC是等腰直角三角形,其中∠A=90°,BD平分∠ABC交AC于点D,CE⊥BD交BD的延长线于点E,求证:BD=2CE (三)、直角三角形的一个锐角平分线+斜边上的高线5、如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AE平分∠CAB,CD⊥AB于D,它们交于点F,△CFE是等腰三角形吗?试说明理由.(四)、等边三角形的几个基本图形:6、等边三角形ABC中,BD=CE,连接AD、BE交于点F。∠AFE=_________。7、如图点A、C、E在同一直线上,△ABC和△CDE都是等边三角形,M、N分别是AD、BE的中点。说明: △CMN是等边三角形。8、已知等边△ABC和点P,设点P到△ABC三边AB、AC、BC的距离分别是h1,h2,h3,△ABC的高为h,若点P在一边BC上(图1),此时h3=0,可得结论h1+h2+h3=h,请你探索以下问题:当点P在△ABC内(图2)和点P在△ABC外(图3)这两种情况时,h1、h2、h3与h之间有怎样的关系,请写出你的猜想,并简要说明理由.(五)、等腰直角三角形的几个基本应用9、在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于D,BE⊥M于E。(1)当直线MN绕点C旋转到图1位置时,说明△ADC≌△CEB的理由;(2)当直线MN绕点C旋转到图2位置时,说明DE=AD-BE的理由;图2图3(3)当直线MN绕点C旋转到图3位置时,试问DE、 AD、BE有怎样的等量关系?请写出这个等量关系,并说明理由.图110、如图,在直角△ABC中,∠C=90,AC=BC,D,E分别在BC和AC上,且BD=CE,M是AB的中点。求证:△MDE是等腰直角三角形。(六)、勾股定理、勾股定理的逆定理、勾股定理与方程11、观察下面表格中所给出的三个数a,b,c,其中a,b,c为正整数,且a<b<c (1):试找出他们的共同点,并证明你的结论,3,4,53+4=55,12,135+12=137,24,257+24=259,40,419+40=41……..……21,b,c21+b=c (2):当a=21时,求b,c的值 12、如图,P是等边三角形ABC内的一点,连结PA、PB、PC,以BP为边作∠PBQ=60°,且BQ=BP,连结CQ。(1)观察并猜想AP与CQ之间的大小关系,并证明你的结论.(2)若PA:PB:PC=3:4:5,连结PQ,试判断△PQC的形状,并说明理由.13、等腰三角形底边上的高为8,周长为32,求这个三角形的面积分析:对于没有图形的大题(指需要过程的题目),最好自己画图,与人方便,与己方便。解:设这个等腰三角形为ABC,高为AD,设BD为x,则AB为(16-x), 由勾股定理得:x2+82=(16-x)2即x2+64=256-32x+x2∴ x=6∴ S?ABC=BC?AD/2=2 ?6 ?8/2=4814、矩形纸片ABCD的边AB=10cm,BC=6cm,E为BC上一点,将矩形纸片沿AE折叠,点B恰好落在DC边上的点G处,求BE的长。(七)、需要分类讨论的(主要是由语言的模糊造成要讨论)有一个角等于50°,另一个角等于__________的三角形是等腰三角形。有一个直角三角形的两条直角边为3,4,则第三条边长为__________ 如图,等腰三角形ABC中,AB=AC,一腰上的中线BD将这个等腰三角形周长分成15和6两部分,求这个三角形的腰长及底边长。(八)作图题如图,求作一点P,使PC=PD,并且使点P到∠AOB两边的距离相等,并说明你的理由.作图题的基本要求:结论不能丢。格式:什么什么即为所求。【考点精练】一、基础训练1.如图1,在△ABC中,AB=AC,∠A=50°,BD为∠ABC的平分线,则∠BDC=_____°. (1) (2) (3)2.如图2,是由9个等边三角形拼成的六边形,若已知中间的小等边三角形的边长是a,则六边形的周长是_______.3.如图3,一个顶角为40°的等腰三角形纸片,剪去顶角后,得到一个四边形,则∠1+∠2=________度.4.如图4,在等腰直角△ABC中,∠B=90°,将△ABC绕顶点A逆时针方向旋转60°后得到△AB′C′,则∠BAC′等于________. (4) (5) 5.如图5,沿AC方向开山修渠,为了加快施工进度,要在小山的另一边同时施工.从AC上的一点B取∠ABD=135°,BD=520米,∠D=45°,如果要使A、C、E成一直线,那么开挖点E离D的距离约为_______米(精确到1米).6.等腰△ABC的底边BC=8cm,腰长AB=5cm,一动点P在底边上从点B开始向点C以0.25cm/秒的速度运动,当点P运动到PA与腰垂直的位置时,点P运动的时间应为________.7.如图7,在△ABC中,AB=AC,∠BAD=20°,且AE=AD,则∠CDE=________. (7) (8) (9)8.如图8,在等腰三角形ABC中,AB=AC,∠A=44°,CD⊥AB于D,则∠DCB等于( )A.44° B.68° C.46° D.22°9.如图9,要在离地面
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