化归方法在中学数学中的应用

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化归方法在中学数学中的应用马晓青,任孚鲛太原师范学院数学系,山西晋中,030619[摘要]:在求解中学数学问题时,通过化归方法,可以使原问题简单化。具有较强的方向性、目的性。直接求解是比较困难的,通过分析、观察,用化归方法将庞大的问题转换成简易的问题,把不常见的或难以处理的问题转换成常见的或已经处理过的问题。通过化归方法,学会分析和处理题目,进而培养学生的思维能力和处理问题的技能。[关键词]:转化;映射;解题策略引言研究数学史,就可以发现有很多的人通过不同的方面阐述了化归方法在数学中的思想,在《指导思维的法则》中笛卡尔提出了通用的法则:第一,把不同类别的问题转化成数学问题;第二,把各种不同类别的数学问题转化成代数问题;第三,把不同类别的代数问题转化成方程式的求解。 化归思想是运用转化或进一步转化,把待处理的问题转换成比较容易处理的问题,或转换成一个已经处理了的问题,进而转换成大家所熟悉的常识性的问题,其模式图如下图1:图11 化归的基本思想1.1 含义化归方法是分析、解决中学数学问题的关键,也是解决问题常用的策略。所谓的化归思想方法,就是把待处理或未处理的问题,通过不同的转换过程,就可以转换成已经处理或者比较容易处理的问题,进而是求解原问题的一中方法。1.2 作用我们求解问题时,通过发现、分析、讨论,将难以解决的问题转换成熟悉的、或能处理的问题。(1)代数方面,在解一般方程或不等式时,把多元转化为一元、高次化为低次、分式化为整式、无理化为有理等;(2)在解三角函数时,可以通过三角的诱导公式将任意角的三角函数化为锐角三角函数,把不同名的三角函数化成同名的三角函数;(3)解立体几何时,把复杂的图形转化成简单的图形,把空间的复杂问题化为平面简易问题。 2 化归方法遵循的基本原则 在数学学习中,为了能更好更快的掌握化归方法,我们需要遵循以下的化归原则:2.1 具体化原则具体化的化归原则是指把抽象的转化成具体的,分析和解决问题时尽可能将原问题简单、具体,用具体的式子来表示抽象的语言描述,把握其中的数量关系,明确原问题中的不同概念间的联系。例1.求函数的最大值。分析:通过观察函数,此函数结构复杂,不能用常规方法求解,只能将其具体化。由函数中的根式联想到距离问题,此问题的关键是两个根式内的被开放式通过拼凑化成平方和的形式。由此可转化为:求点到点与点距离之差的值最大,转化成求抛物线上的一点,使的值最大化。2.2 熟悉化原则熟悉化是我们将不常见的问题转化成常见的问题,有一定的解题模式,也很容易把握。通常,我们通过已有知识和经验,从而解决原问题。如把不是等差和不是等比的数列通过一些转化,化成等差数列和等比数列。例2.设复数和满足关系式,其中是复数且,试证明.分析:本题运用熟悉的知识即实数的充要条件是,即可使原题目得到解决。因为 ,.2.3 和谐统一性原则和谐统一原则是指我们在解题时,应把待解决的问题根据数学问题的条件或结论以及数、式、形等特征,使其和谐、匀称和恰当,在量形、关系方面进行统一,以达到数学的内在美。例3.已知均为实数,且,证明.分析:观察题目,不妨将左右两边平方。证明: ,,两边相加得 即 .2.4 简单化原则简单化是我们把比较难的问题转化为简单的容易处理的问题,把原问题中比较庞大的数据采用某种转化,化成比较简单的,从而去解决复杂的原问题。例4.比较与的大小.分析:观察发现,直接判断有点难度。可以先从简单的入手:,,,,…可以找到一个关系式:当时,就有从而就可以比较时,.2.5 低层次原则低层次是在求解数学中的问题时,考虑高维与低维、高次与低次、多元与少元的转化,通常是由高到低、由大到小、由多到少。2.6 正难则反原则正难则反原则即在数学问题的探索时,在正面分析遇到挫折时要思量从反面去尝试解决,当直接求解不了时要考虑从另一个方面去解决,在正向推导的过程中遇到挫折时可以进行反向推导,这就是所谓的正难则反。3 化归的基本方法化归的目的是复杂问题简单化、含糊问题明朗化、未知问题常识化。于是映射法、参数法、转化法、分割法、消元法、变形法……均为化归常用的方法。3.1 映射法映射指的就是徐利治教授等概括的“关系映射反演方法”,实际上,它就是化归原则的数学化与形式化。其思维模式图如下图2图23.2 命题转化法例5.解不等式:分析:我们通过“命题转化法”将不等式的未知量由一元转化成二元的特殊情况。 即有 3.3 分割法在解决几何问题时通常采用分割法,在遇到一个复杂的图形时,把这个图形分割成一个或几个简单的图形,方便于我们求解和运用。同样适用于其他数学问题,分析一个大问题时运用分割法转化成与原问题等价的几个小问题,进而使原问题的求解简便化,其模式如下图3图3例6.在如图4的三棱锥中,且,,的公垂线段,求证.分析:如果直接求则不容易 求出,注意到, 则平面,平面可用局部法,将原棱锥分割为,则 图43.4 消元法由于求解一元一次方程的问题十分容易,在求两元一次方程组(或元一次方程组)时,我们采取消元,这等价于把解两元(元)一次方程组的问题化归成求一元一次方程的问题。例7.求解方程组解:本题采取“消元”法,通过“加减”、“代入”来解方程组,即:①② 得 ;再把代入①化简可得所以原方程组的解为 .3.5 变形法(1)恒等变形法恒等变形化归法是等价转化思想的体现,表现形式有很多种。如多项式的恒等变形(即把一个多项式用一个与它恒等的多项式替换)、三角式的恒等变形(即把这个三角式用一个恒等与它的三角式代换)、分式的恒等变形、有理式的恒等变形等。恒等变形的目的是把一个复杂的问题通过适当的变化,可以化未知为已知、化暗为明、化繁琐为简便。例8.已知,,求.分析:此题采取对对数恒等式的化归,可以把未知的运算化成。因为,所以所以 (2)放缩变形法在不等式的证明中,经常通过“舍掉一些正(负)项”而使得不等式的和变大或减小,或者在分式中把分子和分母通过扩大或减小。这种化归方法是根据不等式的传递性而研究的,是不等价转化思想的体现。例9.求证 .分析:本题通过放缩变形法,使得不等式的值变大或缩小。左边 (放大)右边 (缩小)所以 4 用化归法解题的常用策略4.
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