三角函数yasinωx+φ资料中的对称轴问题 研究

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三角函数y=Asin(ωx+φ)中的对称轴正弦函数y=sinx的对称轴是x=k+(k∈Z),它的对称轴总是经过它图象的最高点或者最低点。由于三角函数y=是由正弦函数y=sinx复合而成的,所以令=k+,就能得到y=的对称轴方程x=(k∈Z)。通过类比可以得到三角函数y=的对称轴方程x=(k∈Z)。下面通过几道典型例题来谈一谈如何应用它们的对称轴解题。1.解析式问题例1.设函数=(),图像的一条对称轴是直线,求的值。分析:正弦函数y=sinx的对称轴是x=k+,令2x+=k+,结合条件求解。解析:∵是函数y=的图像的对称轴,∴,∴,k∈Z,而,则。点评:由于对称轴都是通过函数图像的最高点或者最低点的直线,所以把对称轴的方程代入到函数解析式,函数此时可能取得最大值或最小值。易错点就在于很多同学误认为由于正弦函数y=sinx的周期是2k,所以会错误的令=2k+。2.参数问题例2.如果函数y=sin2x+acos2x的图象关于直线x=-对称,则a的值为( )A. B.- C.1 D.-1分析:由于本题是选择题,所以解法多种多样,可以带入验证;也可以根据对称轴的通式求解,还可以根据最值求解。解法一:y=sin2x+acos2x=sin(2x+),其中cos=,sin=,由函数的图象关于x=-对称知,函数y=sin2x+acos2x在x=-处取得最大值或最小值,∴sin(-)+acos(-)=±,即(1-a)=±,解得a=-1,所以应选择答案:D。点评:过函数y=Asin()图象最值点与y轴平行(或重合)的直线都是函数图象的对称轴。解法二:显然a≠0,如若不然,x=-就是函数y=sin2x的一条对称轴,这是不可能的,当a≠0时,y=sin2x+acos2x=,其中,,即tan=,函数y=cos(2x-)的图象的对称轴方程的通式为2xk=k+(k∈Z),∴xk=,令xk=-,则=-,∴=-k-,∴tan=tan(-k-)=-1,即=-1,∴a=-1为所求,所以应选择答案:D。点评:根据余弦型函数的对称轴问题,结合对应的正切值的值加以分析求解,也是一种特殊的方法。解法三:∵f(x)=sin2x+acos2x的图象关于直线x=-对称,∴,令x=-,得,∴sin+acos=sin0+acos0,得a=-1,所以应选择答案:D。点评:这种解法比较巧妙,紧扣住对称性的定义,采用特殊值法代入。是不可多得的一种快捷方便的解答方法。3.单调区间问题例3.在下列区间中函数y=sin(x+)的单调增区间是( )A.[,] B.[0,] C.[-,0] D.[,]分析:像这类题型,常规解法都是运用y=Asin(x+)的单调增区间的一般结论,由一般到特殊求解,既快又准确,本题倘若运用对称轴方程求单调区间,则是一种颇具新意的简明而又准确、可靠的方法。解析:函数y=sin(x+)的对称轴方程是:xk=k+-=k+(k∈Z),照选择支,分别取k=-1、0、1,得一个递增或递减区间分别是[-,]或[,],对照选择支思考即知应选择答案:B。点评:一般运用正、余弦函数的对称轴方程求其单调区间,可先运用对称轴方程求其一个单调区间,然后在两端分别加上周期的整数倍即得。4.函数性质问题例4.设点P是函数的图象C的一个对称中心,若点P到图象C的对称轴上的距离的最小值,则的最小正周期是( )A.2π B.π C. D.分析:根据正弦(或余弦)函数的图象的对称中心到一条对称轴的距离的最小值等于周期的性质加以转化三角函数的相关性质,从而得到正确解答。解析:设点P是函数的图象C的一个对称中心,若点P到图象C的对称轴上的距离的最小值,而图象的对称中心到一条对称轴的距离的最小值等于周期,∴最小正周期为T=×4=π,即选择答案:B。点评:三角函数的对称性与其他相应的性质是紧密相关,特别和三角函数的周期性问题、单调性问题、最值问题能息息相关,要注意加以相互转化。函数y=的对称轴是函数的一条重要性质,要准确的理解函数图像实质上有无数条对称轴,它们也是有周期性的,它们的周期不是T=,而是T=,可以理解为对称轴的周期是函数周期的一半。只有准确的理解对称轴的特点,才能灵活的应用对称轴解题。
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