九年级上学期二次函数与旋转综合题特训

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'九年级上学期二次函数与旋转综合题特训'
一、解答题(本大题共10小题,共80.0分)1.如图1,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,点D,E分别在边AB,AC上,AD=AE,连接DC,点M,P,N分别为DE,DC,BC的中点. (1)观察猜想          图1中,线段PM与PN的数量关系是 ______ ,位置关系是 ______ ; (2)探究证明        把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置,连接MN,BD,CE,判断△PMN的形状,并说明理由; (3)拓展延伸         把△ADE绕点A在平面内自由旋转,若AD=4,AB=10,请直接写出△PMN面积的最大值. 2.如图1,△ABC是边长为4cm的等边三角形,边AB在射线OM上,且OA=6cm,点D从O点出发,沿OM的方向以1cm/s的速度运动,当D不与点A重合时,将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE,连结DE. (1)求证:△CDE是等边三角形; (2)如图2,当6<t<10时,△BDE的周长是否存在最小值?若存在,求出△BDE的最小周长;若不存在,请说明理由; (3)如图3,当点D在射线OM上运动时,是否存在以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形?若存在,求出此时t的值;若不存在,请说明理由. 3.如图1,△ABC和△AED都是等腰直角三角形,∠BAC=∠EAD=90°,点B在线段AE上,点C在线段AD上. (1)请直接写出线段BE与线段CD的关系: ______ ; (2)如图2,将图1中的△ABC绕点A顺时针旋转角α(0<α<360°), ①(1)中的结论是否成立?若成立,请利用图2证明;若不成立,请说明理由; ②当AC=12ED时,探究在△ABC旋转的过程中,是否存在这样的角α,使以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出角α的度数;若不存在,请说明理由. 4.我们可以通过类比联想,引申拓展研究典型题目,可达到解一题知一类的目的,下面是一个案例,请补充完整 原题:如图1,点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上,∠EAF=45°,连接EF,则EF=BE+DF,试说明理由. (1)思路梳理 ∵AB=AD, ∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,可使AB与AD重合. ∵∠ADC=∠B=90°, ∴∠FDG=180°,点F、D、G共线. 根据 ______ ,易证△AFG≌ ______ ,得EF=BE+DF. (2)类比引申 如图2,四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=90°点E、F分别在边BC、CD上,∠EAF=45°.若∠B、∠D都不是直角,则当∠B与∠D满足等量关系 ______ 时,仍有EF=BE+DF. (3)联想拓展 如图3,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D、E均在边BC上,且∠DAE=45°.猜想BD、DE、EC应满足的等量关系,并写出推理过程. 5.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,点D是AB边上任意一点,以点C为旋转中心,取旋转角等于90°,把△BDC逆时针旋转. (1)画出旋转后的图形; (2)判断AD2、BD2、CD2的数量关系,并说明理由. 6.如图1,将两个等腰三角形ABC和DEC拼合在一起,其中∠C=90°,AC=BC,CD=CE. (1)操作发现 如图2,固定△ABC,把△DEC绕着顶点C旋转,使点D落在BC边上. 填空:线段AD与BE的关系是 ①位置关系: ______ ②数量关系: ______ (2)变式探究 当△DEC绕点C旋转到图3的位置时,(1)中的结论还成立吗?请说明理由; (3)解决问题 如图4,已知线段AB=5,线段AC=22,以BC为边作一个正方形BCDE,连接AD,随着边BC的变化,线段AD的长也会发生变化.请直接写出线段AD的取值范围. 7.某商店购进一种商品,每件商品进价为30元,试销中发现:销售价格为36元/件时,每天销售28件;销售价格为32元/件时,每天销售36件.若这种商品的销售量y(件)与销售价格x(元)存在一次函数,请回答下列问题: (1)求出y与x的关系式; (2)设商店销售这种商品每天获利w(元),写出w关于x的函数关系式; ①当商店销售这种商品每天获利150元,销售价格定为多少比较合理; ②销售价格定为多少时,商店获利最大,最大利润是多少元? 8.如图1,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A(-1,0)、B两点,与y轴交于点C(0,3).直线y=-34x+m经过点C,与抛物线另一个交点为D,点P是抛物线上一动点,过点P作PF⊥x轴于点F,交直线CD于点E. (1)求抛物线的解析式; (2)当点P在直线CD上方,且△CPE是以CE为腰的等腰三角形时,求点P的坐标; (3)如图2,连接BP,以点P为直角顶点,线段BP为较长直角边,构造两直角边比为1:2的Rt△BPG,是否存在点P,使点G恰好落在直线y=x上?若存在,请直接写出相应点P的横坐标(写出两个即可);若不存在,请说明理由. 9.如图,抛物线y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,a≠0)经过点A(-1,0),B(5,-6),C(6,0). (1)求抛物线的解析式; (2)如图,在直线AB下方的抛物线上是否存在点P使四边形PACB的面积最大?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由; (3)若点Q为抛物线的对称轴上的一个动点,试指出△QAB为等腰三角形的点Q一共有几个?并请求出其中某一个点Q的坐标. 10.如图,在平面直角坐标系中,直线y=kx与抛物线y=ax2+c交于A(8,6)、B两点,点B的横坐标为-2. (1)求直线AB和抛物线的解析式; (2)点P是直线AB下方的抛物线上一动点(不与点A、B重合),过点P作x轴的平行线,与直线AB交于点C,连接PO,设点P的横坐标为m. ①若点P在x轴上方,当m为何值时,△POC是等腰三角形; ②若点P在x轴下方,设△POC的周长为p,求p关于m的函数关系式,当m为何值时,△POC的周长最大,最大值是多少? 初中数学试卷第5页,共5页
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