三角函数应用题练习及 答案

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1、三角函数的应用题一、【学习目标】1、了解解直角三角形在测量及几何问题中的应用。2、掌握仰角、俯角、坡度、坡角等概念，利用解直角三角形解应用问题。3、学会测量底部可以到达的物体的高度。二、【知识要求】会利用解直角三角形的知识解决一般图形问题，并能掌握把一般三角形化为直角三角形的方法。三、【例题分析】第一阶梯[例1]如图，AD∥BC，AC⊥BC，若AD=3，DC=5，且∠B=30°，求AB的长。解：∵∠DAC=90°由勾股定理，有CD2=AD2+AC2∵AD=3，DC=5∴AC=4∵∠B=30°∴AB=

2、2AC∴AB=8 [例2]如图，△ABC中，∠B=90°，D是BC上一点，且AD=DC，若tg∠DAC=,求tg∠BAD。探索：已知tg∠DAC是否在直角三角形中？如果不在怎么办？要求∠BAD的正切值需要满足怎样的条件？点拨：由于已知中的tg∠DAC不在直角三角形中，所以需要转化到直角三角形中，即可地D点作AC的垂线。又要求∠BAD的正切值应已知Rt△BAD的三边长，或两条直角边AB、BD的长，根据已知可知没有提供边长的条件，所以要充分利用已知中的tg∠DAC的条件。由于AD=DC，即∠C=∠DAC

3、，这时也可把正切值直接移到Rt△ABC中。解答：过D点作DE⊥AC于E，且设DE=k，则AE=4k∵AD=DC,∴∠DAC=∠C，AE=EC∴AC=8k∵设AB=m，BC=4m由勾股定理，有AB2+BC2=AC210∴由勾股定理，有CD2=DE2+EC2由正切定理，有[例3]如图，四边形ABCD中，∠D=90°，AD=3，DC=4，AB=13，BC=12，求sinB。探索：已知条件提供的图形是什么形？其中∠D=90°，AD=3，DC=4，可提供什么知识？求sinB应放在什么图形中。点拨：因已知是四边

4、形所以不能求解，由于有∠D=90°，AD=3，DC=4，这样可求AC=5，又因有AB=13，BC=12，所以可证△ABC是Rt△，因此可求sinB。解：连结AC∵∠D=90°由勾股定理，有AC2=CD2+CD2∵AD=3，CD=4，∴AC=5∵AB=13，BC=12∴132=122+52∴∠ACB=90°由正弦定义，有第二阶梯[例1]如图，在河的对岸有水塔AB，今在C处测得塔顶A的仰角为30°，前进20米后到D处，又测得A的仰角为45°，求塔高AB。10探索：在河对岸的塔能否直接测得它的高度？为什么

5、在C、D两处测得仰角的含义是什么？怎样用CD的长？点拨：要直接隔岸测得塔高是不可能的，也不可能直接过河去测量，这时只能考虑如何利用两个仰角及CD长，由于塔身与地面垂直，且C、D、B三点共线这时可以构成一个直角三角形，且有∠ACB=30°，∠ADB=45°，这时就可以借助解直角三角形的知识求解了。解：根据仰角的定义，有∠ACB=30°，∠ADB=45°又AB⊥CB于B。∴∠DAB=45°∴DB=AB设AB=x由正切定义，有解得即塔高答：塔高AB为米。第三阶梯[例1]已知等腰三角形的顶点为A，底边为a，

6、求它的周长及面积。探索：在现在的已知条件下能否求得周长与面积？如果不能求解是因为什么原因造成的，这时底边为a，能否确定腰长及各个内角呢？首先能否确定三角形是直角三角形呢如果不是直角三角形怎么办？点拨：由于没有相应的图形，所以应先确定图形，若是等腰三角形，应先假设这个三角形是斜三角形，再根据条件先转化为直角三角形，再求相应的量。设已知△ABC中，AB=AC，BC=a（如图）解：过A点作：AD⊥BC竽D点，设∠BAD=α∵AB=AC∴BD=CD=根据正弦定义，有10∴AB+AC+BC=a+由余切定义，有

7、∴AD=∵∴注意：也可设∠BAC=α，则∠BAD=。 [例2]有一块矩形纸片ABCD，若把它对折，B点落在AD上F处，如果DC=6cm，且∠DFC=2θ，∠ECB=θ，求折痕CE长。探索：根据已知条件图形对折，B点落在F点的含义是什么？它会有怎样的结论？这时又可以形成什么图形关系？另知DC的长能否求折痕呢？又根据条件我们还可以确定什么？这时又可形成怎样的问题？点拨：由于F点的形成是因对折B点而形成的，因此可有△EBC≌△FEC，同时又可有△AEF∽△CDF。根据已知条件∠DFC=2θ及∠ECB=θ，

8、这时就可以形成与角有关的图形。进而可求CE的长。解：根据已知条件，有△EBC≌△FEC∴EB=EF，BC=FC，∠ECB=∠ECF∵∠CFD=2θ，且∠ECB=θ∴∠ECF=θ由余弦定义，有∵∠ADC=90°－2θ∴由余弦定义，有[例3]如图6-5-5，某船向正东方向航行，在A处望见灯塔C在东北方向，前进到B处望见灯塔C在北偏西30°，又航行了半小时，望见灯塔C恰在西北方向，若船速为每小时20海里，求A、D两点间的距离，（结果不取近似值）10图6-5-5思路分析：易知