变换的复合与矩阵的乘法 教师版

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变换的复合与矩阵的乘法【知识网络】 1、通过变换的实例,了解矩阵与矩阵的乘法的意义。 2、变换的复合——二阶方阵的乘法。 3、通过具体的几何图形变换,说明矩阵乘法不满足交换律与消去律,验证二阶方阵乘法满足结合律。【典型例题】(2)关于矩阵乘法下列说法中正确的是 ( )A、不满足交换律,但满足消去律 B、不满足交换律和消去律C、满足交换律不满足消去律 D、满足交换律和消去律答案:B。解析:矩阵乘法满足结合律,但不满足交换律和消去律。(3) A、 B、 C、 D、答案:A。解析:。 (4)若 = ,则 。(大小关系)答案:x0.7<x0.8。解析:∵ = = = = ,∴3x=1 ∴ x = , 考察y=()x 的图象和性质得:x0.7<x0.8。(5)设A=,则A6= 。答案:。解析:A=,∴A6=例2:已知矩阵,向量求。 答案:∵M=,∴M2=,∴M3=M2M=,∴M3例3:设A=,E=,,求使An=E的最小正整数n的值。答案:An=∴,又因为,所以当时,。例4:求出曲线依次经过矩阵A=,B=作用下变换得到的曲线方程。答案:由已知AB==任取曲线上一点,它在矩阵AB对应的变换作用下变为,则有故,∵P在曲线上,∴,因此,从而曲线在矩阵AB作用下变成椭圆。【课内练习】1.若,则a的值为( )A、 B、 C、 D、答案:D。解析:由矩阵的乘法法则知。2.已知A=,B=,P=,则矩阵ABP表示的几何意义是( )A、点对x轴反射后,再绕原点逆时针旋转α角所得的坐标B、点对y轴反射后,再绕原点逆时针旋转α角所得的坐标C、点绕原点逆时针旋转α角后,再对x轴反射所得的坐标D、点绕原点逆时针旋转α角后,再对y轴反射所得的坐标答案:A。解析:矩阵乘法不满足交换律,故首先排除C、D选项,矩阵B把点P变换为关于x轴对称的点。3.设,则n的最小值为( )A、3 B、6 C、9 D、12答案:D。解析:∵,即,又,∴n的最小值为12。4.将点(2,4)先经矩阵变换后,再绕原点逆时针旋转90°角所得的点坐标为 答案:。解析:由题意知。5.设A=,B=,若AB=BA,则k= 。答案:3。解析:AB=,BA=,由AB=BA知k=3。6.将坐标平面上的一个图形先将其横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标变为原来的一半,然后对它做关于y轴对称的变换,再将它做关于直线y=x对称的变换,则如此平面变换所对应的二阶变换矩阵为 。答案:。解析:由题意知,所求的二阶变换矩阵为:A=。7.若矩阵A=把直线变换成另一直线,则a= ,b= 。答案:0;—1。解析:取上两点(0,7)和(3.5,0),则,,由已知在上,代入得a=0,b=—1。8.求证,并从几何变换的角度给予解释。证明:左边=,右边=,故等式成立。从几何变换的角度看,表示的是先作的伸压变换,再作的投影变换;而表示的是先作的反射变换,再作的投影变换,上述两组复合变换表示的几何变换结果相同。10.已知曲线,将它绕坐标原点逆时针旋转45°角后,再在矩阵作用下变换得到什么曲线?曲线方程是什么?答案:由已知,复合变换矩阵为M=任取曲线上一点,它在TM的作用下变为,则有,故,即,∵P在曲线上,∴,因此,即,从而曲线在TM作用下变为双曲线,曲线方程为。【作业本】A组1.点通过矩阵和的变换效果相当于另一变换是( )A. B. C. D. 答案:D。4.已知A=,则An= ()。答案:An=。5.将向量依序作如下变换:①横、纵坐标分别缩短到原来的;②绕原点顺时针旋转45°;③沿x轴方向移到y的4倍,所到向量为 解析:由题意知=。6.根据下列条件求X,根据两题的结果,指出你认为正确的一个结论① X = ②X = 答案:①X = = = ②X = = = ∵ ≠ 结论:矩阵乘法不满足交换律。7.两个矩阵的乘法的几何意义是对应变换的复合,反过来,可以对平面中的某些几何变换进行简单的分解。你能根据如图所示变换后的图形进行分解,从而知道它是从原来图形经过怎样的复合变换过来的吗? (1) (2)8.设矩阵F=表示四边形ABCD,M=,四边形ABCD经过TM作用后得到的新四边形对应的矩阵F′=MF,求新四边形的面积。B组1.设A、B、C都是二阶矩阵,下列叙述恒成立的是( )A、若AB=C,则BA=C B、若AC=BC,则A=BC、若AB=0,则A=0或B=0 D、若(AB)C=E,则A(BC)=E答案:D。解析:根据矩阵求法的运算律知。2.若矩阵A将一点P先对直线作反射变换,再向y轴作投影变换,则矩阵A为( )A、 B、 C、 D、 答案:C。解析:A=。3.设圆先绕原点逆时针旋转30°后,再对直线作反射则所得的图形的方程为( )A、 B、 C、 D、答案:A。解析:由已知,变换对应的矩阵为M=∴M,即圆心C经变换后得到的点坐标为(0,2)。4.已知△ABC,A(0,0),B(2,0),C(1,2)对它先作M= 对应的变换,再作N=对应的变换,则变换作用后所得图形的面积为_________.答案:12。解析:变换后△ABC变成了,其中,故。 6.根据下列条件求X,根据两题的结果,指出你认为正确的一个结论① X =( ) ②X = ( )答案:①X =( ) = = ②X = ( )= = ∵ = 结论:矩阵乘法满足结合律。7.将直线以直线为反射轴作反射变换得直线,再将直线以原点为中心,逆时针旋转30°得直线,试求的方程。答案:由已知,这个复合变换对应的矩阵为A=设上任一点为,与在上对应的点为,则,所以,从而∵在上,∴,即方程为。8.已知可以用来表示向量,其中O (0,0),P(1,2),那么,矩阵=既可以表示这两个矩阵对应的变换的复合矩阵,也可以看作将点(0,0)(1,2)变换成O (0,
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