2019-2020年高中数学 1.2.1 解三角形的实际应用举例课时训练 新人教A版必修5

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1、2019-2020年高中数学1.2.1解三角形的实际应用举例课时训练新人教A版必修5一、测量中的距离问题1.有一长为10m的斜坡,倾斜角为60°,在不改变坡高和坡顶的前提下,通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°,则坡底要延长的长度(单位:m)是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　A.5B.5C.10D.10答案:D解析:如图,在Rt△ABC中,AC=10,∠ACB=60°.∴AB=5,BC=5,在Rt△ABD中,∠ADB=30°,∴BD=15.∴CD=BD-BC=10.2.(xx福建宁德五校联考,14)一艘船以15km/h的速度向东航行,船在A处

2、看到灯塔B在北偏东60°处;行驶4h后,船到达C处,看到灯塔B在北偏东15°处,这时船与灯塔的距离为　　　　　km. 答案:30解析:根据题意画出图形,如图所示,可得B=75°-30°=45°,在△ABC中,根据正弦定理得,,即,∴BC=30km,即此时船与灯塔的距离为30km.3.(xx福建厦门高二期末,15)如图,某观测站C在A城的南偏西20°,一条笔直公路AB,其中B在A城南偏东40°,B与C相距31千米.有一人从B出发沿公路向A城走去,走了20千米后到达D处,此时C,D之间的距离为21千米,则A,C之间的距离是　　　　　千米. 答案:24解析:由

3、已知得CD=21,BC=31,BD=20,在△BCD中,由余弦定理得cos∠BDC==-.设∠ADC=α,则cosα=,sinα=.在△ACD中,由正弦定理,得AC==24.二、测量中的高度与角度问题4.如图,D,C,B三点在地面同一直线上,DC=a,从C,D两点测得A点的仰角分别是β,α(α<β),则A点距离地面的高度AB等于(　　)A.B.C.D.答案:A解析:在△ACD中,∠DAC=β-α,DC=a,∠ADC=α,由正弦定理得AC=,∴在Rt△ACB中,AB=ACsinβ=.5.运动会开幕式上举行升旗仪式,在坡度15°的看台上,同一列上的第一排和最

4、后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°,第一排和最后一排的距离为10m(如图所示),则旗杆的高度为(　　)A.10mB.30mC.10mD.10m答案:B解析:如图所示,由题意知∠AEC=45°,∠ACE=180°-60°-15°=105°,∴∠EAC=180°-45°-105°=30°,由正弦定理知,∴AC==20(m),∴在Rt△ABC中,AB=AC·sin∠ACB=30(m).∴旗杆的高度为30m.6.当甲船位于A处时获悉,在其正东方向相距20nmile的B处有一艘渔船遇险等待营救,甲船立即前往营救,同时把消息告知在甲船的南偏西30°,相距1

5、0nmileC处的乙船,乙船立即朝北偏东θ角的方向沿直线前往B处救援,则sinθ的值等于(　　)A.B.C.D.答案:D解析:根据题目条件可作图如图:在△ABC中,AB=20,AC=10,∠CAB=120°,由余弦定理有BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos∠CAB=202+102-2×20×10cos120°=700,∴BC=10.再由正弦定理得,∴sin∠ACB==.又0°<∠ACB<90°,∴cos∠ACB=,∴sinθ=sin(30°+∠ACB)=sin30°cos∠ACB+cos30°sin∠ACB=.7.某海岛周围38nmile有暗礁,一

6、轮船由西向东航行,初测此岛在北偏东60°方向,航行30nmile后测得此岛在东北方向,若不改变航向,则此船　　　　触礁的危险(填“有”或“无”). 答案:无解析:由题意在△ABC中,AB=30nmile,∠BAC=30°,∠ABC=135°,∴∠ACB=15°.由正弦定理,得BC=·sin∠BAC=·sin30°==15().在Rt△BDC中,CD=BC=15(+1)>38.∴无触礁的危险.8.如图,在一个特定时段内,以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45°且与

7、点A相距40海里的位置B,经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45°+θ且与点A相距10海里的位置C.(1)求该船的行驶速度(单位:海里/小时);(2)若该船不改变航行方向继续行驶,判断它是否会进入警戒水域,并说明理由.解:(1)因为AB=40,AC=10,∠BAC=θ,sinθ=,0°<θ<90°,所以cosθ=.由余弦定理得BC==10,所以该船的行驶速度为v==15(海里/小时).(2)设直线AE与BC的延长线相交于点Q.在△ABC中,由余弦定理得cos∠ABC==,所以sin∠ABC=.在△ABQ中,由正弦定理得AQ==40.因为AE=55>

8、40=AQ,所以点Q位于点A和点E之间,且QE=AE-AQ=15.过点E作EP⊥