高中数学竞赛几何专题1资料从调和点列到Apollonius圆到 极线

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1、从交比到调和点列到Apollonius圆到极线极点2010年10月17日结束的2010年全国高中数学联赛平面几何题目为：如图1，锐角三角形ABC的外心为O，K是边BC上一点（不是边BC的中点），D是线段AK延长线上一点，直线BD与AC交于点N，直线CD与AB交于点M．求证：若OK⊥MN，则ABDC四点共圆．图1本题颇有难度，参考答案的反证法让有些人“匪夷所思”，其实这是一系列射影几何中常见而深刻结论的自然“结晶”，此类问题在国家队选拔考试等大赛中屡见不鲜。本文拟系统的介绍交比、调和点列、完全四边形、Apollonius圆、极线等射影几何的重要概念及应用，抽丝剥茧、溯本求源，揭示此类问题的来

2、龙去脉，并在文中给出上题的一种简洁明了的直接证明。知识介绍定义1线束和点列的交比：如图2，共点于O的四条直线被任意直线所截的有向线段比称为线束OA、OC、OB、OD或点列ACBD的交比。[1]定理1线束的交比与所截直线无关。图2证明：本文用[ABC]表示ABC面积，则从而可知线束交比与所截直线无关。定义2调和线束与调和点列：交比为-1，即的线束称为调和线束，点列称为调和点列。显然调和线束与调和点列是等价的，即调和线束被任意直线截得的四点均为调和点列，反之，调和点列对任意一点的线束为调和线束。定理2调和点列常见形式：（O为CD中点）（1）、（2）、(3)、AC*AD=AB*AO(4)、AB*

3、OD=AC*BD证明：由基本关系式变形即得，从略。定理3一直线被调和线束中的三条平分当且仅当它与第四边平行（由定义即得，证略）定义3完全四边形：如图3，凸四边形ABCD各边延长交成的图形称为完全四边形ABCDEF，AC、BD、EF称为其对角线（一般的四条直线即交成完全四边形）[2]。定理4完全四边形对角线互相调和分割。即AGCH、BGDI、EHFI分别构成调和点列。图3分析：只需证EHFI为调和点列，其余可类似证得，也可由线束的交比不变性得到。证法一：面积法，即。证法二：由Ceva定理，由Menelaus定理得到，故，即EHFI为调和点列。定理5完全四边形ABCDEF中，四个三角形AED、

4、ABF、EBC、FDC的外接圆共点，称为完全四边形的密克（Miquel）点。证明：设出两圆交点，证它在其余圆上即可。图4定义4阿波罗尼斯（Apollonius）圆：到两定点A、B距离之比为定值k（）的点的轨迹为圆，称为Apollonius圆，为古希腊数学家Apollonius最先提出并解决[2]（注：当k=1时轨迹为AB中垂线也可看成半径为无穷大的圆）。证明：如图4由AP=kPB，则在AB直线上有两点C、D满足故PC、PD分别为∠APB的内外角平分线，则CP⊥DP，即P点的轨迹为以CD为直径的圆O(O为CD中点)。（注：解析法亦可证得）显然图4中ACBD为调和点列。定理6在图4中，当且仅当

5、PB⊥AB时，AP为圆O的切线。证明：当PB⊥AB时∠APC=∠BPC=∠CDP故AP为圆O的切线，反之亦然。定理7Apollonius圆与调和点列的互推如下三个条件由其中两个可推得第三个：1.PC（或PD）为∠APB内（外）角平分线2.CP⊥PD3.ACBD构成调和点列（证略）定义5反演：设A为○O（r）平面上点，B在射线OA上，且满足OA*OB=r*r，则称A、B以○O为基圆互为反演点。定理8图4中，以Apollonius圆为基圆，AB互为反演点。（由定理2（2）即得。）定义6极线与极点：设A、B关于○O（r）互为反演点，过B做OA的垂线l称为A点对圆O的极线；A点称为l的极点。[3]

6、定理9当A点在○O外时，A的极线为A的切点弦。（由定理6即得。）图5定理10若A的极线为l，过A的圆的割线ACD交l于B点，则ACBD为调和点列。证明：如图5，设A的切点弦为PQ，则即ACBD为调和点列。定理11配极定理：如图6，若A点的极线通过另一点D，则D点的极线也通过A。一般的称A、D互为共轭点。证法一：几何法，作AF⊥OD于F，则DFGA共圆，得OF*OD=OG*OA=，由定义6知AF即为D的极线。图6证法二：解析法，设圆O为单位圆，A（）,D（），A的极线方程为，由D在其上，得，则A在上，即A在D的极线上。定理12在图6中，若A、D共轭，则定义7调和四边形：对边积相等的圆内接四边

7、形称为调和四边形。（因圆上任意一点对此四点的线束为调和线束，故以此命名）定理13图5中PDQC为调和四边形。证明：由定理9的证明过程即得。例题选讲例1如图7，过圆O外一点P作其切线PA、PB，OP与圆和AB分别交于I、M，DE为过M的任意弦。求证：I为△PDE内心。（2001年中国西部数学奥林匹克）分析：其本质显然为Apollonius圆。证明：由定理6知圆O为P、M的Apollonius圆，则DI、EI分别为△PDE的