2019年高考数学二轮复习 攻略一 函数与方程思想，数形结合思想

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1、2019年高考数学二轮复习攻略一函数与方程思想，数形结合思想一、函数与方程思想函数与方程思想是中学数学的基本思想，是历年高考的重点和热点，主要依据题意，构造恰当的函数，或建立相应的方程来解决问题，它涉及三大题型．高、中、低档试题都有出现．近几年来代数压轴题多为考查应用函数思想解题的能力．函数与方程思想的应用主要体现在以下几方面：(1)函数与不等式的相互转化，对函数y＝f(x)，当y>0时，就化为不等式f(x)>0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式．(2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要．(3)解析几何中的许多

2、问题．需要通过解二元方程组才能解决．这都涉及二次方程与二次函数的有关理论．(4)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决，建立空间直角坐标系后，立体几何与函数的关系更加密切．1．运用函数与方程思想解决函数、方程、不等式问题此类问题是多元问题中的常见题型，通常有两种处理思路：一是分离变量构造函数，将方程有解转化为求函数的值域；二是换元，将问题转化为二次方程，进而构造函数加以解决．【例1】　(xx·福建高考)已知函数f(x)＝ex－ax(a为常数)的图象与y轴交于点A，曲线y＝f(x)在点A处的切线斜率为－1.(1)求a的值及函数f(x)的极值

3、；(2)证明：当x＞0时，x2＜ex；(3)证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈(x0，＋∞)时，恒有x＜cex.【解】　(1)由f(x)＝ex－ax，得f′(x)＝ex－a.又f′(0)＝1－a＝－1，得a＝2.所以f(x)＝ex－2x，f′(x)＝ex－2.令f′(x)＝0，得x＝ln2.当x＜ln2时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x＞ln2时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．所以当x＝ln2时，f(x)有极小值，且极小值为f(ln2)＝eln2－2ln2＝2－ln4，f(x)无极大值．(2)令g(x)＝ex－x2，则g′(x)＝ex－2x.由(1)得，g′(x)

4、＝f(x)≥f(ln2)＝2－ln4＞0，即g′(x)＞0.所以g(x)在R上单调递增，又g(0)＝1＞0，所以当x＞0时，g(x)＞g(0)＞0，即x2＜ex.(3)对任意给定的正数c，取x0＝，由(2)知，当x＞0时，x2＜ex.所以当x＞x0时，ex＞x2＞x，即x＜cex.因此，对任意给定的正数c，总存在x0，当x∈(x0，＋∞)时，恒有x＜cex.2．运用函数与方程思想解决数列问题数列问题函数(方程)化法与形式结构函数(方程)化法类似，但要注意数列问题中n的取值范围为正整数，涉及的函数具有离散性特点，其一般解题步骤是：第一步：分析数列式子的结构特征．第二步：根据结构特征构造“特征

5、”函数(方程)，转化问题形式．第三步：研究函数性质，结合解决问题的需要研究函数(方程)的相关性质，主要涉及函数单调性与最值、值域问题的研究．第四步：回归问题．结合对函数(方程)相关性质的研究，回归问题．【例2】　已知Sn＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，设f(n)＝S2n＋1－Sn＋1，试确定实数m的取值范围，使得对于一切大于1的正整数n，不等式f(n)>[logm(m－1)]2－·[log(m－1)m]2恒成立．【解】　由f(n)＝S2n＋1－Sn＋1，得f(n)＝＋＋…＋，∴f(n＋1)＝＋＋…＋.∴f(n＋1)－f(n)＝＋－＝＋>0.∴f(n)>f(n－1)>…>f(3)>f(2)(n∈

6、N*，n≥2)．∴f(n)min＝f(2)＝＋＝.要使对于一切大于1的正整数n，原不等式恒成立，只需不等式>[logm(m－1)]2－[log(m－1)m]2成立．设y＝[logm(m－1)]2，则y>0.于是解得0且m≠2.∴实数m的取值范围为∪(2，＋∞)．3．运用函数与方程思想解决几何问题在立体几何和解析几何中有许多问题需要运用到方程或建立函数表达式的方法加以解决．特别是在解析几何中涉及到范围或最值问题时可用如下思路去完成：第一步：联立方程．第二步：求解判别式Δ.第三步：代换．利用题设条件和圆锥曲线的几何性质，得到所求目标参数和判别式不等式中的参数的一个等量关系

7、，将其代换．第四步：下结论．将上述等量代换式代入Δ>0或Δ≥0中，即可求出目标参数的取值范围．第五步：回顾反思．在研究直线与圆锥曲线的位置关系问题时，无论题目中有没有涉及求参数的取值范围，都不能忽视了判别式对某些量的制约，这是求解这类问题的关键环节．【例3】　(xx·四川高考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；(Ⅱ)设F为椭圆C的左焦点，T