2019年高考数学一轮总复习 15.3 坐标系与曲线的极坐标方程题组训练 理 苏教版

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1、2019年高考数学一轮总复习15.3坐标系与曲线的极坐标方程题组训练理苏教版1.在极坐标系中,直线l的方程为ρsinθ=3,求点到直线l的距离.解 ∵直线l的极坐标方程可化为y=3,点化为直角坐标为(,1)∴点到直线l的距离为2.2.(xx·汕头调研)在极坐标系中,ρ=4sinθ是圆的极坐标方程,求点A到圆心C的距离.解 将圆的极坐标方程ρ=4sinθ化为直角坐标方程为x2+y2-4y=0,圆心坐标为(0,2).又易知点A的直角坐标为(2,2),故点A到圆心的距离为=2.3.求圆心为C,半径为3的圆的极坐标方程.解

2、 如图,设圆上任一点为P(ρ,θ),则OP=ρ,∠POA=θ-,OA=2×3=6,在Rt△OAP中,OP=OA×cos∠POA,∴ρ=6cos.∴圆的极坐标方程为ρ=6cos.4.(xx·常州一中期中)在极坐标系中,已知点O(0,0),P,求以OP为直径的圆的极坐标方程.解 设点Q(ρ,θ)为以OP为直径的圆上任意一点(不包括端点),在Rt△OQP中,ρ=3cos,故所求圆的极坐标方程为ρ=3cos.5.(xx·扬州市调研)已知A是曲线ρ=12sinθ上的动点,B是曲线ρ=12cos上的动点,试求线段AB长的最大值

3、.解 曲线ρ=12sinθ的直角坐标方程为x2+(y-6)2=36,其圆心为(0,6),半径为6;曲线ρ=12cos的直角坐标方程为(x-3)2+(y-3)2=36,其圆心为(3,3),半径为6.所以AB长的最大值=+6+6=18.6.从极点O作直线与另一直线ρcosθ=4相交于点M,在OM上取一点P,使

4、OM

5、·

6、OP

7、=12,求点P的轨迹方程.解 设动点P的坐标为(ρ,θ),则M(ρ0,θ).∵

8、OM

9、·

10、OP

11、=12.∵ρ0ρ=12.ρ0=.又M在直线ρcosθ=4上,∴cosθ=4,∴ρ=3cosθ.这就是

12、点P的轨迹方程.7.设过原点O的直线与圆(x-1)2+y2=1的一个交点为P,点M为线段OP的中点,当点P在圆上移动一周时,求点M轨迹的极坐标方程,并说明它是什么曲线.解 圆(x-1)2+y2=1的极坐标方程为ρ=2cosθ,设点P的极坐标为(ρ1,θ1),点M的极坐标为(ρ,θ),∵点M为线段OP的中点,∴ρ1=2ρ,θ1=θ,将ρ1=2ρ,θ1=θ代入圆的极坐标方程,得ρ=cosθ.∴点M轨迹的极坐标方程为ρ=cosθ,它表示原心在点,半径为的圆.8.⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为ρ=4cosθ,ρ=-4si

13、nθ.(1)把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)求经过⊙O1,⊙O2交点的直线的直角坐标方程.解 (1)ρ=4cosθ,两边同乘以ρ,得ρ2=4ρcosθ;ρ=-4sinθ,两边同乘以ρ,得ρ2=-4ρsinθ.由ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x2+y2,得⊙O1,⊙O2的直角坐标方程分别为x2+y2-4x=0和x2+y2+4y=0.(2)由①-②得-4x-4y=0,即x+y=0为所求直线方程.9.(xx·泉州模拟)已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=2,ρ2-2ρcos=2.(1)把圆

14、O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程.解 (1)由ρ=2知ρ2=4,所以x2+y2=4;因为ρ2-2ρcos=2,所以ρ2-2ρ=2,所以x2+y2-2x-2y-2=0.(2)将两圆的直角坐标方程相减,得经过两圆交点的直线方程为x+y=1.化为极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=1,即ρsin=.10.已知圆锥曲线C的极坐标方程为ρ=,以极点为坐标原点,极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系,求曲线C的直角坐标方程,并求焦点到准线的距离.解 由ρ=,得ρcos2θ=4sinθ,

15、ρ2cos2θ=4ρsinθ.又ρcosθ=x,ρsinθ=y,故所求曲线的直角坐标方程是x2=4y,故焦点到准线的距离为2.11.(xx·宿迁联考)已知直线l的参数方程:(t为参数)和圆C的极坐标方程:ρ=2·sin.(1)将直线l的参数方程化为普通方程,圆C的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)判断直线l和圆C的位置关系.解 (1)消去参数,得直线l的普通方程为y=2x+1.ρ=2sin,即ρ=2(sinθ+cosθ),两边同乘以ρ,得ρ2=2(ρsinθ+ρcosθ).得⊙C的直角坐标方程为(x-1)2+(x-

16、1)2=2.(2)圆心C到直线l的距离d==<,所以直线l和⊙C相交.12.已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与x轴的正半轴重合.若直线l的极坐标方程为ρsin=3.(1)把直线l的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)已知P为椭圆C:+=1上一点,求P到直线l的距离的最大值.解 (1)直线l的极坐标方程ρsin=3,则ρsinθ-ρcosθ=3,即

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