2019年高考数学一轮总复习 第二节 不等式证明的基本方法练习 新人教A版选修4-5

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1、2019年高考数学一轮总复习第二节不等式证明的基本方法练习新人教A版选修4-5一、填空题(本大题共9小题，每小题5分，共45分)1．设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则s与t的大小关系是________．解析　s－t＝b2－2b＋1＝(b－1)2≥0.答案　s≥t2．设a＝，b＝－，c＝－，则a，b，c间的大小关系是________．解析　由>>，得a>c>b.答案　a>c>b3．设a>b>0，m＝－，n＝，则m与n的大小关系是________．解析　∵a>b>0，∴m＝－>0，n＝>0.∵m2－n2＝(a＋b－2)－(a－b)＝2b－2＝2(－)<0，∴m2

2、m0，则函数y＝3－3x－的最大值是________．解析　y＝3－3x－＝3－≤3－2＝3－2，即ymax＝3－2.答案　3－25．函数f(x)＝3x＋(x>0)的最小值为________．解析　f(x)＝3x＋＝＋＋≥3＝9，当且仅当＝，即x＝2时等号成立．答案　96．记S＝＋＋＋…＋，则S与1的大小关系是________．解析　∵<，<，…，＝<，∴S＝＋＋＋…＋<＋＋…＋＝1.答案　S<17．已知a，b，c是正实数，且a＋b＋c＝1，则＋＋的最小值为________．解析　把a＋b＋c＝1代入＋＋得＋＋＝3＋(＋)＋(＋)＋(＋)≥3＋2＋2＋2＝9.答案　98．

3、若x＋y＋z＝1，则F＝2x2＋3y2＋z2的最小值为________．解析　(2x2＋3y2＋z2)(3＋2＋6)≥(x＋y＋z)2＝6，∴2x2＋3y2＋z2≥.答案　9．(xx·湖北卷)设x，y，z∈R，且满足：x2＋y2＋z2＝1，x＋2y＋3z＝，则x＋y＋z＝________.解析　根据柯西不等式(a＋b＋c)(a＋b＋c)≥(a1a2＋b1b2＋c1c2)2得(x2＋y2＋z2)(12＋22＋32)≥(x＋2y＋3z)2＝14.“＝”成立的条件为＝＝.又x＋2y＋3z＝，令＝＝＝t，则x＝t，y＝2t，z＝3t.由x＋2y＋3z＝t＋4t＋9t＝，∴t＝，故x＋y＋z＝6

4、t＝.答案　二、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)10．已知函数f(x)＝log2(x＋m)，且f(0)，f(2)，f(6)成等差数列．(1)求f(30)的值；(2)若a，b，c是两两不相等的正数，且a，b，c成等比数列，试判断f(a)＋f(c)与2f(b)的大小关系，并证明你的结论．解　(1)由f(0)，f(2)，f(6)成等差数列，得2log2(2＋m)＝log2m＋log2(6＋m)，即(m＋2)2＝m(m＋6)(m＞0)，∴m＝2.∴f(30)＝log2(30＋2)＝5.(2)f(a)＋f(c)＝log2(a＋2)(c＋2)，2f(b)＝log2(b＋2)2，∵b

5、2＝ac，∴(a＋2)(c＋2)－(b＋2)2＝2(a＋c)－4b.∵a＋c＞2＝2b(a≠c)，∴2(a＋c)－4b＞0.∴log2(a＋2)(c＋2)＞log2(b＋2)2.即f(a)＋f(c)＞2f(b)．11．(1)设x≥1，y≥1，证明x＋y＋≤＋＋xy；(2)设1

6、1)－(x＋y)(xy－1)＝(xy－1)(xy－x－y＋1)＝(xy－1)(x－1)(y－1)，由条件x≥1，y≥1，所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，从而所要证明的不等式成立．(2)设logab＝x，logbc＝y，由对数的换底公式得logca＝，logba＝，logcb＝，logac＝xy.于是，所要证明的不等式即为x＋y＋≤＋＋xy，由题意知x＝logab≥1，y＝logbc≥1.故由(1)可知所要证明的不等式成立．12．(xx·厦门二模)已知正数x，y，z满足x2＋y2＋z2＝6.(1)求x＋2y＋z的最大值；(2)若不等式

7、a＋1

8、－2a≥x＋2y＋z对满足条件的x

9、，y，z恒成立，求实数a的取值范围．解　(1)由柯西不等式(x2＋y2＋z2)(12＋22＋12)≥(x＋2y＋z)2，即有(x＋2y＋z)2≤36.又x，y，z是正数，∴x＋2y＋z≤6，即x＋2y＋z的最大值为6，当且仅当＝＝，即当x＝z＝1，y＝2时取得最大值．(2)由题意及(1)得，

10、a＋1

11、－2a≥(x＋2y＋z)max＝6.解得a无解或a≤－，综上，实数a的取值范围为.