2019年高考数学二轮复习 攻略四 探究性、定点与定值问题

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1、2019年高考数学二轮复习攻略四探究性、定点与定值问题一、探究性问题提高同学们的探究能力是新课程改革的重要目标，由于探索性问题形式新颖，解法多样，需要灵活运用知识、技能和数学思想方法去探索结论，有利于帮助同学们形成良好的思维品质和培养创造性分析问题、解决问题的能力，也能有效地考查同学们的数学能力，因此探索性问题已经成为近几年高考新的亮点和热点．探索性问题与封闭性问题相对，一般地，对于给出了明确条件，但没有明确的结论，或者结论不确定，需要探索者通过观察、分析、归纳出结论或判断结论的问题(探索结论)；或者给出了问题的明确结论，但条件不足或未知，需要解题者寻找充分条件并加以证

2、明的问题(探索条件)，称为探索性问题．此外，有些探索性问题也可以改变条件，探讨结论相应发生的变化；或者改变结论，探讨条件相应发生的变化；或者给出一些实际的数据，通过分析、探讨解决问题．问题的条件不完备，结论不确定是探索性问题的基本特征，从探索性问题的解题过程来看，没有确定的模式，可变性多，对观察、试验、联想、类比、猜想、抽象、概括，特别是对发现问题、分析问题的能力要求较高，下面对几种常见的题型进行举例分析．1．探索条件型即从给定的问题出发，追溯结论成立的充分条件．这类问题的基本特征是：针对一个结论，需探索条件．解决这类问题的基本策略是：执果索因，先寻找结论成立的必要条件

3、，再通过检验或论证找到结论成立的充分条件．在“执果索因”的过程中，常常会犯的一个错误是不考虑推理过程的可逆与否，误将必要条件当作充分条件，这点应引起同学们的注意．【例1】　设a＞0，b＞0，(　　)A．若2a＋2a＝2b＋3b，则a＞bB．若2a＋2a＝2b＋3b，则a＜bC．若2a－2a＝2b－3b，则a＞bD．若2a－2a＝2b－3b，则a＜b【解析】　利用原命题与逆否命题的真假性相同求解．当0＜a≤b时，显然2a≤2b,2a≤2b＜3b，∴2a＋2a＜2b＋3b，即2a＋2a≠2b＋3b成立．∴它的逆否命题：若2a＋2a＝2b＋3b，则a＞b成立，故A正确，B错误

4、．当0＜a≤b时，由2a≤2b,2a＜3b，知2a－2a与2b－3b的大小关系不确定，∴C不正确，同理D不正确．【答案】　A2．探索存在型即从假设相关结论存在出发，从而肯定或否定这种结论存在．这类问题的基本特征是：要判断在某些确定条件下的某一数学对象(数值、图形、函数等)是否存在或某一结论是否成立．解决这类问题的基本策略是：先假定对象存在，运用条件进行推理．若得到相应的合理结论，则可断言这个对象是存在的；若出现矛盾，则否定先前假设，断言对象是不存在的．【例2】　在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率e＝，且椭圆C上的点到点Q(0,2)的距离的

5、最大值为3.(1)求椭圆C的方程．(2)在椭圆C上，是否存在点M(m，n)，使得直线l：mx＋ny＝1与圆O：x2＋y2＝1相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．【解】　(1)∵e2＝＝＝，∴a2＝3b2，∴椭圆方程为＋＝1，即x2＋3y2＝3b2.设椭圆上的点到点Q(0,2)的距离为d，则d＝＝＝＝，∴当y＝－1时，d取得最大值，dmax＝＝3，解得b2＝1，∴a2＝3.∴椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)假设存在点M(m，n)满足题意，则＋n2＝1，即m2＝3－3n2.设圆心到直线l的距离为d

6、′，则d′＜1，d′＝＝.∴

7、AB

8、＝2＝2.∴S△OAB＝

9、AB

10、d′＝·2·＝.∵d′＜1，∴m2＋n2＞1，∴0＜＜1，∴1－＞0.∴S△OAB＝≤＝，当且仅当＝1－，即m2＋n2＝2＞1时，S△OAB取得最大值.由得∴存在点M满足题意，M点坐标为(，)，(，－)，(－，)或(－，－)．此时△OAB的面积为.二、定点、定值问题由于定点与定值问题涉及面广、综合性强，能较好地考查同学们的逻辑推理能力，因此是近年高考的一个热点．求解这类问题的基本策略是“大处着眼、小处着手”，从整体上把握问题给出的综合信息和处理问题的函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、化归与转

11、化思想等，并恰当地运用待定系数法、相关点法、定义法等基本数学方法．下面作分类说明．1．定点问题定点问题可以应用特例先找到定点，从特殊的情况来推理一般的情况，从而找到解题的思路．定点问题与定值问题类似，在“变”中求的“不变”．【例3】　(xx·山东高考)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有

12、FA

13、＝

14、FD

15、.当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．(Ⅰ)求C的方程；(Ⅱ)若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E.(ⅰ)证明直线AE过定点，