2019年高考数学一轮总复习 必考解答题 模板成形练 直线与圆及圆锥曲线 理 苏教版

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1、2019年高考数学一轮总复习必考解答题模板成形练直线与圆及圆锥曲线理苏教版(建议用时:60分钟)1.已知圆C的方程为x2+(y-4)2=4,点O是坐标原点.直线l:y=kx与圆C交于M、N两点.(1)求k的取值范围:(2)设Q(m,n)是线段MN上的点,且=+.请将n表示为m的函数.解 (1)将y=kx代入x2+(y-4)2=4,得(1+k2)x2-8kx+12=0(*),由Δ=(-8k)2-4(1+k2)×12>0得k2>3.所以k的取值范围是(-∞,-)∪(,+∞).(2)因为M、N在直线l上,可设点M、N的坐标分别为(x1,kx1),(x2,kx2),则

2、OM

3、2=(1+k2

4、)x,

5、ON

6、2=(1+k2)x,又

7、OQ

8、2=m2+n2=(1+k2)m2,由=+得,=+,所以=+=由(*)知x1+x2=,x1x2=,所以m2=,因为点Q在直线l上,所以k=,代入m2=可得5n2-3m2=36,由m2=及k2>3得0<m2<3,即m∈(-,0)∪(0,).依题意,点Q在圆C内,则n>0,所以n==,综上,n与m的函数关系为n=(m∈(-,0)∪(0,).2.已知圆C:(x+)2+y2=16,点A(,0),Q是圆上一动点,AQ的垂直平分线交CQ于点M,设点M的轨迹为E.(1)求轨迹E的方程;(2)过点P(1,0)的直线l交轨迹E于两个不同的点A,B,△AOB(

9、O是坐标原点)的面积S=,求直线AB的方程.解 (1)由题意

10、MC

11、+

12、MA

13、=

14、MC

15、+

16、MQ

17、=

18、CQ

19、=4>2,所以轨迹E是以A,C为焦点,长轴长为4的椭圆,即轨迹E的方程为+y2=1.(2)记A(x1,y1),B(x2,y2),由题意,直线AB的斜率不可能为0,而直线x=1也不满足条件,故可设AB的方程为x=my+1,由消x得(4+m2)y2+2my-3=0,所以y1=,y2=.S=

20、OP

21、

22、y1-y2

23、=.由S=,解得m2=1,即m=±1.故直线AB的方程为x=±y+1,即x+y-1=0或x-y-1=0为所求.3.已知过点A(-4,0)的动直线l与抛物线G:x2=2py(

24、p>0)相交于B,C两点.当直线l的斜率是时,=4.(1)求抛物线G的方程;(2)设线段BC的中垂线在y轴上的截距为b,求b的取值范围.解 (1)设B(x1,y1),C(x2,y2),当直线l的斜率是时,l的方程为y=(x+4),即x=2y-4,联立得2y2-(8+p)y+8=0,∴y1=,y2=由已知=4,∴y2=4y1,∴可得p2+16p-36=0∵p>0可得y1=1,y2=4,p=2,∴抛物线G的方程为x2=4y.(2)由题意知直线l的斜率存在,且不为0,设l:y=k(x+4),BC中点坐标为(x0,y0),由得x2-4kx-16k=0,由Δ>0得k<-4或k>0,x=2k±

25、2.∴xB+xC=2k∴x0==2k,y0=k(x0+4)=2k2+4k.BC中垂线方程为y-2k2-4k=-(x-2k),∴b=2(k+1)2,∴b>2.4.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为.以原点为圆心,椭圆的短轴长为直径的圆与直线x-y+=0相切.(1)求椭圆C的方程;(2)如图,若斜率为k(k≠0)的直线l与x轴、椭圆C顺次相交于A,M,N(A点在椭圆右顶点的右侧),且∠NF2F1=∠MF2A.求证直线l过定点(2,0),并求出斜率k的取值范围.解 (1)由题意知e==,∴e2===,即a2=2b2.又∵b==1,∴a2=2,b2=1,

26、∴椭圆方程为+y2=1.(2)由题意,设直线l的方程为y=kx+m(k≠0),M(x1,y1),N(x2,y2).由得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-2=0.由Δ=16k2m2-4(2k2+1)(2m2-2)>0,得m2<2k2+1,∵x1=,x2则有x1+x2=,x1x2=.∵∠NF2F1=∠MF2A,且∠MF2A≠90°,kMF2+kNF2=0.又F2(1,0),则+=0,即+=0,化简得2kx1x2+(m-k)(x1+x2)-2m=0.将x1+x2=,x1x2=代入上式得m=-2k,∴直线l的方程为y=kx-2k,即直线过定点(2,0).将m=-2k代入m2<2k2+1

27、,得4k2<2k2+1,即k2<,又∵k≠0,∴直线l的斜率k的取值范围是∪.

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