2019年高考数学二轮复习 专题训练八 第1讲 几何证明选讲 理

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1、2019年高考数学二轮复习专题训练八第1讲几何证明选讲理考情解读　本讲主要考查相似三角形与射影定理，圆的切线及圆内接四边形的性质与判定定理，圆周角定理及弦切角定理，相交弦、切割线、割线定理等，本部分内容多数涉及圆，并且多是以圆为背景设计的综合性考题，考查逻辑推理能力．1．(1)相似三角形的判定定理判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三

2、角形相似．判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．(2)相似三角形的性质①相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；②相似三角形周长的比等于相似比；③相似三角形面积的比等于相似比的平方．(3)直角三角形的射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．2．(1)圆周角定理圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．(2)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对

3、弧的度数．3．(1)圆内接四边形的性质定理①圆的内接四边形的对角互补；②圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．(2)圆内接四边形判定定理如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．4．(1)圆的切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径．(2)圆的切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(3)弦切角定理弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．(4)相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．(5)切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条

4、线段长的比例中项．5．证明等积式成立，应先把它写成比例式，找出比例式中给出的线段所在三角形是否相似，若不相似，则进行线段替换或等比替换．6．圆幂定理与圆周角、弦切角联合应用时，要注意找相等的角，找相似三角形，从而得出线段的比．由于圆幂定理涉及圆中线段的数量计算，所以应注意代数法在解题中的应用．热点一　相似三角形及射影定理例1　如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，且AD∶BD＝9∶4，则AC∶BC的值为________．答案　3∶2解析　方法一　因为∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，所以

5、由射影定理，得AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB.所以()2＝＝.又AD∶BD＝9∶4，所以AC∶BC＝3∶2.方法二　因为AD∶BD＝9∶4，所以可设AD＝9k，BD＝4k，k∈R＋.又∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，由射影定理，得CD2＝AD·BD，所以CD＝6k.由勾股定理，得AC＝3和BC＝2，所以AC∶BC＝3∶2.思维升华　含斜边上的高的直角三角形是相似三角形中的基本图形，本题中出现多对相似三角形，这为解决问题提供了许多可以利用的有效信息．另外，直角三角形的射影定理是相似三角形的性质在直角三角

6、形中的一个经典应用，在类似问题中应用射影定理十分简捷．如图，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，BE的长为________．答案　4解析　∵AC＝4，AD＝12，∠ACD＝90°，∴CD2＝AD2－AC2＝128，∴CD＝8.又∵AE⊥BC，∠B＝∠D，∴△ABE∽△ADC，∴＝，∴BE＝＝＝4.热点二　相交弦定理、割线定理、切割线定理、切线长定理的应用例2　如图所示，AB为⊙O的直径，P为BA的延长线上一点，PC切⊙O于点C，CD⊥AB，垂足为D，且PA＝4，PC＝8，

7、则tan∠ACD和sinP的值为________．答案　，解析　连接OC，BC.因为PC为⊙O的切线，所以PC2＝PA·PB.故82＝4·PB，所以PB＝16.所以AB＝16－4＝12.由条件，得∠PCA＝∠PBC，又∠P＝∠P，所以△PCA∽△PBC.所以＝.因为AB为⊙O的直径，所以∠ACB＝90°.又CD⊥AB，所以∠ACD＝∠B.所以tan∠ACD＝tanB＝＝＝＝.因为PC为⊙O的切线，所以∠PCO＝90°.又⊙O直径为AB＝12，所以OC＝9，PO＝10.所以sinP＝＝＝.思维升华　(1)求非特殊

8、角的函数值的关键是将这些角归结到直角三角形中，利用直角三角形的边之比表示出角的三角函数值，然后根据已知条件将这些比值转化为已知线段的比值．(2)线段成比例的证明，一般利用三角形相似进行转化，在圆中的相关问题，应注意灵活利用圆中的切割线定理、相交弦定理等求解相关线段的长度或构造比例关系．(xx·广东)如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BC＝CD，过C作圆O的切线交AD于