2019年高考数学二轮复习 函数与导数综合题1

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1、2019年高考数学二轮复习函数与导数综合题1函数是中学最重要的内容，贯穿高中数学的始终．函数的思想和方法是解决许多数学问题的根本指导思想，加上导数知识后，函数在处理问题上的灵活性进一步得到提高．导数是研究函数性质的强有力工具，利用导数解决函数问题不但避开了初等函数变形技巧性强的难点，而且使解法程序化，变“技巧”为“通法”．因此在求与函数有关的问题(比如函数图象的切线、函数的极值、函数的最值、函数的单调性等)及与不等式有关的问题时，要充分发挥导数的工具性作用，优化解题策略，简化运算过程．函数与导数问题能够考查学生的运算能力、分析能力、化归能力、逻辑思维能力等多种综合能力，是培

2、养学生数学素养的最重要的内容．《考试大纲》对此的要求就不再重述了，下面简述一下此处命制解答题的必然性，首先，函数、导数、不等式是“天生”的密友，它们长期“合作”产生过很多非常优秀的试题，给很多参加过高考的人都留下了深刻的印象；其次，函数的抽象性、不等式的灵活性，也是产生难题的“乐土”；最后，从三者占教材内容的比例上也可以看出在此处命制一道解答题是必然的．例2　(xx·山东临沂模拟)(13分)设函数f(x)＝ax＋2，g(x)＝a2x2－lnx＋2，其中a∈R，x>0.(1)若a＝2，求曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程；(2)是否存在负数a，使f(x)≤g(x

3、)对一切正数x都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．[解题流程][规范解答](1)由题意可知当a＝2时，g(x)＝4x2－lnx＋2，则g′(x)＝8x－，(2分)曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线斜率k＝g′(1)＝7，又g(1)＝6，∴曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线的方程为y－6＝7(x－1)，即y＝7x－1.(5分)(2)设函数h(x)＝f(x)－g(x)＝ax＋lnx－a2x2(x>0)．假设存在负数a，使得f(x)≤g(x)对一切正数x都成立，即当x>0时，h(x)的最大值小于等于零．h′(x)＝a＋－2a2x＝(x>0)

4、．令h′(x)＝0，可得x1＝－，x2＝(舍)．(8分)当00，h(x)单调递增；当x>－时，h′(x)<0，h(x)单调递减．∴h(x)在x＝－处有极大值，也是最大值．(10分)∴h(x)max＝h≤0，解得a≤－e－，∴负数a存在，它的取值范围为.(13分)[解题模板]第1步：将问题转化为形如不等式f(x)≥a(或f(x)≤a)恒成立的问题；　第2步：求函数f(x)的最大值f(x)max(或f(x)的最小值f(x)min)；　第3步：解不等式f(x)max≤a(或f(x)min≥a)；　第4步：明确规范地表述结论．[反思领悟]1．查看关键点、易错

5、点及解题规范，如本题重点反思每一步转化的目标及合理性，最大值或最小值是否正确．2．学会“跳步解答”解题过程中卡在某一过渡环节上是常见的，这时，我们可以先承认中间结论，往后推，看能否得到结论．若题目有两问，第(1)问想不出来，可把第(1)问当作“已知”，先做第(2)问，跳一步解答．3．学会“逆向解答”对一个问题正面思考发生思维受阻时，用逆向思维的方法去探求新的解题途径，往往能得到突破性的进展．顺向推有困难就逆推，直接证有困难就反证．解答本题第(2)问利用了逆向解答，把不等式f(x)≤g(x)巧妙地转化为h(x)＝f(x)－g(x)＝ax＋lnx－a2x2，从而只需说明h(x)

6、max≤0时就可求a的取值范围．　[变题]2．(文)(xx·全国新课标Ⅱ高考)已知函数f(x)＝x3－3x2＋ax＋2，曲线y＝f(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为－2.(1)求a；(2)证明：当k＜1时，曲线y＝f(x)与直线y＝kx－2只有一个交点．【解】　(1)f′(x)＝3x2－6x＋a，f′(0)＝a.曲线y＝f(x)在点(0,2)处的切线方程为y＝ax＋2.由题设得－＝－2，所以a＝1.(2)证明　由(1)知，f(x)＝x3－3x2＋x＋2.设g(x)＝f(x)－kx＋2＝x3－3x2＋(1－k)x＋4.由题设知1－k＞0.当x≤0时，g′(x)＝

7、3x2－6x＋1－k＞0，g(x)单调递增，g(－1)＝k－1＜0，g(0)＝4，所以g(x)＝0在(－∞，0]有唯一实根．当x＞0时，令h(x)＝x3－3x2＋4，则g(x)＝h(x)＋(1－k)x＞h(x)．h′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，h(x)在(0,2)单调递减，在(2，＋∞)单调递增，所以g(x)＞h(x)≥h(2)＝0.所以g(x)＝0在(0，＋∞)没有实根．综上，g(x)＝0在R有唯一实根，即曲线y＝f(x)与直线y＝kx－2只有一个交点．(理)(xx·全国大纲高考)函数f(x)＝ln(x