2019年高考数学二轮复习 专题4 第3讲 空间向量及其应用素能训练(文、理)

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1、2019年高考数学二轮复习专题4第3讲空间向量及其应用素能训练(文、理)一、选择题1.(xx·北京理,7)在空间直角坐标系O-xyz中,已知A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(1,1,),若S1、S2、S3分别是三棱锥D-ABC在xOy、yOz、zOx坐标平面上的正投影图形的面积,则(  )A.S1=S2=S3B.S2=S1且S2≠S3C.S3=S1且S3≠S2D.S3=S2且S3≠S1[答案] D[解析] D-ABC在xOy平面上的投影为△ABC,故S1=AB·BC=2,设D在yOz和zOx平面上的投影分别为D2和D3,则D-ABC在yOz和zOx平面上的投影分别为△

2、OCD2和△OAD3,∵D2(0,1,),D3(1,0,).故S2=×2×=,S3=×2×=,综上,选项D正确.2.(xx·天津和平区模拟)已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,E是AA1的中点,则异面直线D1C与BE所成角的余弦值为(  )A.         B.C.D.[答案] B[解析] 以A为原点,AB、AD、AA1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,设AB=1,则B(1,0,0),D(0,1,0),C(1,1,0),D1(0,1,2),∵AA1=2AB,∴E(0,0,1),∴=(-1,0,1),=(-1,0,2),∴cos〈,〉===,故选B.3.已

3、知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面边长都相等,A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心,则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于(  )A.B.C.D.[答案] B[解析] 如图,设A1在平面ABC内的射影为O,以O为坐标原点,OA、OA1分别为x轴、z轴建立空间直角坐标系如图.设△ABC边长为1,则A(,0,0),B1(-,,),∴=(-,,).平面ABC的法向量n=(0,0,1),则AB1与底面ABC所成角α的正弦值为sinα=

4、cos〈,n〉

5、==.4.(xx·吉林九校联合体二模)如图,在四面体OABC中,已知AC=BC,

6、

7、=3,

8、

9、=1,则·(  )A.8B.6C.4D.3[答

10、案] C[解析] 如图,取AB的中点D,∵AC=BC,∴AB⊥DC,=+,又=(+),∴·=(+)·=·=(+)·(-)=(2-2)=(9-1)=4.5.如图,四棱锥S-ABCD的底面为正方形,SD⊥底面ABCD,则下列结论中不正确的是(  )A.AC⊥SBB.AB∥平面SCDC.SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D.AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角[答案] D[解析] ∵四边形ABCD是正方形,∴AC⊥BD.又∵SD⊥底面ABCD,∴SD⊥AC.∵SD∩BD=D,∴AC⊥平面SDB,从而AC⊥SB.故A正确.易知B正确.设AC与DB交于O点,连接SO.则SA与平面

11、SBD所成的角为∠ASO,SC与平面SBD所成的角为∠CSO,又OA=OC,SA=SC,∴∠ASO=∠CSO.故C正确.由排除法可知选D.6.正四面体ABCD的棱长为1,G是△ABC的中心,M在线段DG上,且∠AMB=90°,则GM的长为(  )A.B.C.D.[答案] D[解析] 解法一:取AB的中点N,由正四面体的对称性可知△AMB为等腰三角形,∴MN=AB=.又G为△ABC的中心,∴NG=,故MG==.解法二:设=a,=b,=c,=+λ=-a+(a+b+c)=(-1)a+b+c,=+=(a-b)+(-1)a+b+c=a+(-1)b+c.由·=0,ab=bc=ac=,可解得λ=.

12、

13、=

14、

15、

16、=.二、填空题7.如图,在空间直角坐标系中有棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1,点M是线段DC1上的动点,则点M到直线AD1距离的最小值是________.[答案] a[解析] 设M(0,m,m)(0≤m≤a),=(-a,0,a),直线AD1的一个单位方向向量s=(-,0,),=(0,-m,a-m),故点M到直线AD1的距离d===,根式内的二次函数当m=-=时取最小值()2-a×+a2=a2,故d的最小值为a.8.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点M∈AB1,N∈BC1,且AM=BN≠,有以下四个结论:①AA1⊥MN;②A1C1∥MN;③MN∥平面A1B1C1D

17、1;④MN与A1C1是异面直线.其中正确命题的序号是________.(注:把你认为正确命题的序号都填上)[答案] ①③[解析] 在正方体中,AB1=BC1,∵M∈AB1,N∈BC1,且AM=BN≠,∴当M为AB1的中点时,N为BC1的中点,即B1C的中点,此时MN∥AC∥A1C1,否则MN与A1C1异面,∴②④都错;在BB1上取点E,使NE∥B1C1,则==,∴ME∥AB∥A1B1,∴平面MNE∥平面A1B

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