2019年高考数学二轮复习 函数与导数解答题专题训练（含解析）

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1、2019年高考数学二轮复习函数与导数解答题专题训练（含解析）1．(xx·皖南八校联考)已知函数f(x)＝ex(ax2－2x＋2)，其中a>0.(1)若曲线y＝f(x)在x＝2处的切线与直线x＋e2y－1＝0垂直，求实数a的值；(2)讨论f(x)的单调性．解　f′(x)＝ex[ax2＋(2a－2)x](a>0)．(1)由题意得f′(2)·＝－1，解得a＝.(2)令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝.①当01时，f(x)的

2、增区间为，(0，＋∞)，减区间为.2．(xx·云南二模)已知f(x)＝ex(x3＋mx2－2x＋2)．(1)假设m＝－2，求f(x)的极大值与极小值；(2)是否存在实数m，使f(x)在[－2，－1]上单调递增？如果存在，求实数m的取值范围；如果不存在，请说明理由．解　(1)当m＝－2时，f(x)＝ex(x3－2x2－2x＋2)的定义域为(－∞，＋∞)．∵f′(x)＝ex(x3－2x2－2x＋2)＋ex(3x2－4x－2)＝xex(x2＋x－6)＝(x＋3)x(x－2)ex，∴当x∈(－∞，－3)或x∈(0,2)时，f′(x)<0；

3、当x∈(－3,0)或x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0；f′(－3)＝f′(0)＝f′(2)＝0，∴f(x)在(－∞，－3)上单调递减，在(－3,0)上单调递增，在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，∴当x＝－3或x＝2时，f(x)取得极小值；当x＝0时，f(x)取得极大值，∴f(x)极小值＝f(－3)＝－37e－3，f(x)极小值＝f(2)＝－2e2，f(x)极大值＝f(0)＝2.(2)f′(x)＝ex(x3＋mx2－2x＋2)＋ex(3x2＋2mx－2)＝xex[x2＋(m＋3)x＋2m－2]．∵f(x)在[－2，

4、－1]上单调递增，∴当x∈[－2，－1]时，f′(x)≥0.又当x∈[－2，－1]时，xex<0，∴当x∈[－2，－1]时，x2＋(m＋3)x＋2m－2≤0，∴解得m≤4，∴当m∈(－∞，4]时，f(x)在[－2，－1]上单调递增．3．(文)(xx·山西四校联考)已知函数f(x)＝ax2＋x－xlnx.(1)若a＝0，求函数f(x)的单调区间；(2)若f(1)＝2，且在定义域内f(x)≥bx2＋2x恒成立，求实数b的取值范围．解　(1)当a＝0时，f(x)＝x－xlnx，函数定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝－lnx，由－lnx＝

5、0，得x＝1.当x∈(0,1)时，f′(x)>0，f(x)在(0,1)上是增函数；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)在(1，＋∞)上是减函数．(2)由f(1)＝2，得a＋1＝2，∴a＝1，∴f(x)＝x2＋x－xlnx，由f(x)≥bx2＋2x，得(1－b)x－1≥lnx.∵x>0，∴b≤1－－恒成立．令g(x)＝1－－，可得g′(x)＝，∴g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴g(x)min＝g(1)＝0，∴b的取值范围是(－∞，0]．3．(理)(文)4.(xx·广州调研)已知f(x)是二次函数

6、，不等式f(x)<0的解集是(0,5)，且f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线6x＋y＋1＝0平行．(1)求f(x)的解析式；(2)是否存在t∈N*，使得方程f(x)＋＝0在区间(t，t＋1)内有两个不相等的实数根？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．解　(1)∵f(x)是二次函数，不等式f(x)<0的解集是(0,5)，∴可设f(x)＝ax(x－5)，a>0.∴f′(x)＝2ax－5a.∵函数f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线6x＋y＋1＝0平行，∴f′(1)＝－6.∴2a－5a＝－6，解得a＝2.∴f(x)＝2

7、x(x－5)＝2x2－10x.(2)由(1)知，方程f(x)＋＝0等价于方程2x3－10x2＋37＝0.设h(x)＝2x3－10x2＋37，则h′(x)＝6x2－20x＝2x(3x－10)．当x∈时，h′(x)<0，函数h(x)在上单调递减；当x∈时，h′(x)>0，函数h(x)在上单调递增．∵h(3)＝1>0，h＝－<0，h(4)＝5>0，∴方程h(x)＝0在区间，内各有一个实数根，在区间(0,3)，(4，＋∞)内没有实数根．∴存在唯一的正整数t＝3，使得方程f(x)＋＝0在区间(t，t＋1)内有且只有两个不相等的实数根．4．(

8、理)(文)5.(xx·辽宁五校联考)已知函数f(x)＝xlnx.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)证明：对任意的t>0，存在唯一的实数m使t＝f(m)；(3)设(2)中所确定的m关于t的函数为m＝g(t)，证明：当t>e时，有<<1.解　(1)