2019年高考数学二轮复习 第四讲 导数及其应用

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1、2019年高考数学二轮复习第四讲导数及其应用一、选择题1．函数y＝x2－lnx的单调递减区间为(　　)A．(－1，1]B．(0，1]C．[1，＋∞)D．(0，＋∞)解析：∵y＝x2－lnx，∴y′＝x－，由y′≤0，解得－1≤x≤1，又x＞0，∴0＜x≤1.故选B.答案：B2．设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为(　　)A.B．[－1，0]C．[0，1]D.解析：设P(x0，y0)，∵y′＝2x＋2，∴曲线C在点P处的切线斜率为2x0＋2.又切线倾斜角范围是，∴斜率范围是[0，1]．即2x0＋2∈[0，1]，∴x0∈.

2、答案：A3．若f(x)＝－x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是(　　)A．[－1，＋∞)B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1]D．(－∞，－1)解析：∵f′(x)＝＝.则由已知f′(x)≤0在(－1，＋∞)上恒成立，∴1＋b≤0.∴b≤－1.答案：C4．(xx·湖南卷)若0＜x1＜x2＜1，则(　　)A．ex2－ex1＞lnx2－lnx1B．ex1－ex2＜lnx2－lnx1C．x2ex1＞x1ex2D．x2ex1＜x1ex2解析：设函数f(x)＝ex－lnx且g(x)＝，对函数求导可得f′(x)＝ex－，g′(x)＝，因为x∈(0，1)，所以f′(x)符号

3、不确定且g′(x)＜0，所以函数f(x)单调性不确定，函数g(x)在(0，1)上单调递减，则g(x1)＞g(x2)⇒＞⇒x2ex1＞x1ex2，所以选项C是正确的．故选C.答案：C5．(xx·江西卷)在同一直角坐标系中，函数y＝ax2－x＋与y＝a2x3－2ax2＋x＋a(a∈R)的图象不可能的是(　　)解析：当a＝0时，两函数图象为D所示，当a≠0时，对函数y＝a2x3－2ax2＋x＋a，令y′＝3a2x2－4ax＋1＝0得：x＝或x＝，y＝ax2－x＋的对称轴为x＝.当a＜0时，由＜＜知B不对，当a＞0时，由＞＞知A，C正确．答案：B6．设定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2π

4、的偶函数，f′(x)是f(x)的导函数，当x∈[0，π]时，0＜f(x)＜1；当x∈(0，π)且x≠时，f′(x)＞0，则函数y＝f(x)－sinx在[－2π，2π]上的零点个数为(　　)A．2个B．4个C．5个D．8个解析：由当x∈(0，π)且x≠时，f′(x)＞0，知x∈时，f′(x)＜0，f(x)为减函数；x∈时，f′(x)＞0，f(x)为增函数．又x∈[0，π]时，0＜f(x)＜1，在R上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数，在同一坐标系中作出y＝sinx和y＝f(x)草图(如下图)，由图知y＝f(x)－sinx在[－2π，2π]上的零点个数为4个．答案：B7．函数y＝f(

5、x)在定义域内可导，其图象如图所示，记y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，则不等式f′(x)≤0的解集为(　　)A.∪[2，3)B.∪C.∪[1，2]D.∪答案：A　二、填空题8．若曲线y＝kx＋lnx在点(1，k)处的切线平行于x轴，则k＝________．答案：－19．曲线y＝x3＋3x2＋6x－1的切线中，斜率最小的切线方程为______________________．解析：y′＝3x2＋6x＋6＝3(x＋1)2＋3≥3.当x＝－1时，y′min＝3；当x＝－1时，y＝－5.∴切线方程为y＋5＝3(x＋1)，即3x－y－2＝0.答案：3x－y－2＝0三、解答题10．已知函数f

6、(x)＝2x3＋ax与g(x)＝bx2＋c的图象都过点P(2，0)，且在点P处有相同的切线．(1)求实数a，b，c的值；(2)设函数F(x)＝f(x)＋g(x)，求F(x)的单调区间，并指出函数F(x)在该区间上的单调性．解析：(1)因为函数f(x)＝2x3＋ax与g(x)＝bx2＋c的图象都过点P(2，0)，所以得a＝－8，4b＋c＝0.故f(x)＝2x3－8x，f′(x)＝6x2－8.又当x＝2时，f′(x)＝16，又g′(x)＝2bx，所以2b×2＝16，得b＝4，c＝－16.所以a＝－8，b＝4，c＝－16.(2)因为F(x)＝2x3＋4x2－8x－16，所以F′(x)＝6x2

7、＋8x－8.由F′(x)＞0，得x＜－2或x＞；由F′(x)＜0，得－2＜x＜.所以，当x∈(－∞，－2)时，F(x)是增函数；当x∈时，F(x)也是增函数；当x∈时，F(x)是减函数．11．(xx·广东卷)已知函数f(x)＝x3＋x2＋ax＋1(a∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a＜0时，试讨论是否存在x0∈∪，使得f(x0)＝f.解析：(1)f′(x)＝x2＋2x＋a，方程x2＋2x＋a＝0的判别式为Δ＝4－4a，①当a≥1