2019年高考数学二轮复习 专题训练八 第3讲 不等式选讲 理

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1、2019年高考数学二轮复习专题训练八第3讲不等式选讲理考情解读　本部分主要考查绝对值不等式的解法，求含绝对值的函数的值域及求含参数的绝对值不等式中参数的取值范围，不等式的证明等，结合集合的运算、函数的图象和性质、恒成立问题及基本不等式、绝对值不等式的应用成为命题的热点，从能力上主要考查基本运算能力与推理论证能力及数形结合思想、分类讨论思想．1．含有绝对值的不等式的解法(1)

2、f(x)

3、>a(a>0)⇔f(x)>a或f(x)<－a；(2)

4、f(x)

5、0)⇔－a

6、x－a

7、＋

8、x－b

9、≤c

10、，

11、x－a

12、＋

13、x－b

14、≥c的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解．2．含有绝对值的不等式的性质

15、a

16、－

17、b

18、≤

19、a±b

20、≤

21、a

22、＋

23、b

24、.3．算术—几何平均不等式定理1：设a，b∈R，则a2＋b2≥2ab.当且仅当a＝b时，等号成立．定理2：如果a、b为正数，则≥，当且仅当a＝b时，等号成立．定理3：如果a、b、c为正数，则≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a1，a2，…，an为n个正数，则≥，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．4．不等式的证明方法证明不等式常

25、用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等．热点一　含绝对值不等式的解法例1　不等式

26、x＋3

27、－

28、2x－1

29、<＋1的解集为________________．答案　解析　①当x<－3时，原不等式化为－(x＋3)－(1－2x)<＋1，解得x<10，∴x<－3.②当－3≤x<时，原不等式化为(x＋3)－(1－2x)<＋1，解得x<－，∴－3≤x<－.③当x≥时，原不等式化为(x＋3)－(2x－1)<＋1，解得x>2，∴x>2.综上可知，原不等式的解集为.思维升华　(1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤：①求零点；②划区

30、间、去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．(2)用图象法、数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法．(1)若不等式

31、x＋1

32、＋

33、x－2

34、

35、x＋1

36、＋

37、x－2

38、的最小值为3，而

39、x＋1

40、＋

41、x－2

42、

43、x－a

44、＋

45、x－1

46、≤3成立，则实数a的取值范围是________．答

47、案　[－2,4]解析　利用绝对值不等式的性质求解．∵

48、x－a

49、＋

50、x－1

51、≥

52、(x－a)－(x－1)

53、＝

54、a－1

55、，要使

56、x－a

57、＋

58、x－1

59、≤3有解，可使

60、a－1

61、≤3，∴－3≤a－1≤3，∴－2≤a≤4.热点二　不等式的证明例2　求证下列不等式：(1)设a≥b>0，求证：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2；(2)a6＋8b6＋c6≥2a2b2c2；(3)a2＋4b2＋9c2≥2ab＋3ac＋6bc.证明　(1)3a3＋2b3－(3a2b＋2ab2)＝3a2(a－b)－2b2·(a－b)＝(a－b)(3a2－2b2)．

62、∵a≥b>0，∴a－b≥0,3a2－2b2>0.∴(a－b)(3a2－2b2)≥0.∴3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.(2)a6＋8b6＋c6≥3＝3×a2b2c2＝2a2b2c2，∴a6＋8b6＋c6≥2a2b2c2.(3)∵a2＋4b2≥2＝4ab，a2＋9c2≥2＝6ac，4b2＋9c2≥2＝12bc，∴2a2＋8b2＋18c2≥4ab＋6ac＋12bc，∴a2＋4b2＋9c2≥2ab＋3ac＋6bc.思维升华　(1)作差法应该是证明不等式的常用方法．作差法证明不等式的一般步骤：①作差；②分解因式；③与0比较；

63、④结论．关键是代数式的变形能力．(2)注意观察不等式的结构，利用基本不等式或柯西不等式证明．(xx·课标全国Ⅱ)设a、b、c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：(1)ab＋bc＋ca≤；(2)＋＋≥1.证明　(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤.(2)因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c

64、)，即＋＋≥a＋b＋c.所以＋＋≥1.热点三　不等式的综合应用例3　(xx·陕西)已知a，b，m，n均为正数，且a＋b＝1，mn＝2，则(am＋bn)(bm＋an)的最小值为________．答案　2解析　先化简式子，再利用基本不等式求解最值，注意等号取得的条件．∵a，b，m，n∈R＋，且a＋b＝1，mn＝2，∴(a