连续系统的数字仿真

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时间:2019-08-10

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1、第4章连续系统的数字仿真——数值积分法上一章从仿真原理方面讨论了连续系统的仿真方法。本章将从构造积分器的角度再对仿真方法做进一步的讨论。4.1欧拉法数值积分法是把微分方程化成积分运算,再进一步化成代数运算的过程,主要解决如何构造一个积分器,然后求出积分器的差分方程的问题。有了积分器就能很容易地对系统进行仿真了。数值积分法最初是从数值计算[56]的角度得到的。但是为了和第3章所讨论的方法统一起来,我们用插入离散再现环节的方法,以状态空间描述为基础,推出线性系统数值积分法的仿真模型[9]。仍假设线性系统的状态空间描述为(4-1)(4-2)式中——维状态向量;——维输入向量;——维系统矩阵;——

2、维输入矩阵;——维输出向量;——维输出矩阵;——维传递矩阵。此系统的方框图如图4.1所示。在系统积分器入口e处加入离散再现环节,则可得到连续系统的另一离散相似系统,如图4.1所示图4.1线性定常系统的另一种离散相似系统框图从图4.1中,可得到(4-3)当时,(4-4)当时,(4-5)用式(4-5)减式(4-4)可得到(4-6)当取时,即(4-7)把式(4-7)代入式(4-6)得简记为(4-8)式(4-8)被称为欧拉公式。欧拉公式可以从图4.2的几何图形中得到解释。有了式(4-8),就很容易求出系统式(4-1)、式(4-2)的差分方程(4-9)(4-10)从图4.2可以看出,这种方法精度低(

3、截断误差与成正比[56]),但是它的公式非常简单,不用求,因此在实时仿真中它的应用非常广泛。图4.2欧拉公式的几何解释4.2梯形法为了提高仿真精度,离散-再现环节采取图4.3的形式。即(4-11)图4.3梯形公式的离散-再现环节框图把式(4-11)代入式(4-6)可得(4-12)式(4-12)称为梯形公式,其几何解释如图4.4所示。图4.4梯形公式的几何解释由图4.1可知(4-13)(4-14)把式(4-13)、(4-14)代入式(4-12),得到系统的差分方程(4-15)(4-16)式(4-15)是一个隐式,因为求时,等式右边还有未知数。为了得到该式的显式形式,可把含的项移到方程左边,再

4、整理而得到,即系统解的显式公式为(4-17)显然,式(4-17)要比式(4-9)的精度高些。但是,当系统阶次较高时,求是比较困难的。为此,在计算式(4-14)时,需要先估算的值。此时,可以设定离散-再现过程只有第1路信号(见图4.3),根据式(4-8)则有把上式代入式(4-14),用代替,则有(4-18)把式(4-13)、式(4-18)代入式(4-12)可得到系统解的简化显式公式为(4-19)此式没有矩阵求逆的运算,所以比式(4-17)容易计算。在仿真时,也可直接使用式(4-13)、式(4-18)、式(4-12)进行计算。【例4-1】已知一多变量系统的结构框图如图4.5所示,请用梯形公式对

5、此系统进行仿真,并输出的仿真结果。图4.5多变量系统结构框图【解】根据图4.5,可得到该系统的状态方程及输出方程为依据式(4-13)有根据式(4-18)有根据式(4-12)有根据式(4-16)有计算步距及仿真时间的估算仿真程序清单如下:#include"graphics.h"/*头文件声明*/#include"math.h"#include"string.h"intVN=2;/*定义输出变量的个数*/floatOutputy[2][500],ST,DT;/*定义输出变量的最大维数*/intLP,i,j;/*定义仿真步数*/floatx10,x11,x20,x21,e10,e20,e11,e

6、21,y1,y2;/*定义参数类型*/floatu1,u2;voidDispcurve();/*画图子程序*/main(){x10=0;x20=0;/*参数赋初值*/Outputy[0][0]=0;Outputy[1][0]=0;u1=1;u2=1;y1=0;y2=0;ST=100;DT=0.5;LP=(int)(ST/DT);for(i=1;i<=LP;i++)/*计算各个差分方程*/{e10=-0.12771*x10+0.04233*x20+12.771*u1-0.04235*u2;e20=0.01262*x10-0.08533*x20-1.262*u1+0.08534*u2;e11=

7、-0.12771*(x10+DT*e10)+0.04233*(x20+DT*e20);e11=e11+12.771*u1-0.04235*u2;e21=0.01262*(x10+DT*e10)-0.08533*(x20+DT*e20);e21=e21-1.262*u1+0.08534*u2;x11=x10+DT*e10/2.0+DT*e11/2.0;x21=x20+DT*e20/2.0+DT*e21/2.0;y1=0.0

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