06利用换元法解方程(组)

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1、实用文档第6讲利用换元法解方程一、方法技巧（一）换元法解方程是用新元代替方程中含有未知数的某个部分，达到化简的目的.（二）运用换元法解方程，主要有三种类型：分式方程、无理方程、整式（高次）方程.解分式方程、无理方程、整式(高次)方程的基本思想是将分式方程化为整式方程、无理方程化为有理方程、整式（高次）方程逐步降次.（三）换元的方法是以所讨论方程的特有性质为依据的，不同的方程就有不同的换元方法，因此，这种方法灵活性大，技巧性强．恰当地换元，可将复杂方程化简，以便寻求解题的途径．常用换元方法有局部换元、均值换元、倒数换元、常数换元等．例如：①，可使用局部换元法，设②，变形后也可使用局部换元法

2、，设③，看着很繁冗，变形整理成时，就可使用局部换元法.④，可设，方程变成，使方程变得易解，这是均值换元法.⑤，符合与中间项等距离的项的系数相等，文案大全实用文档如与，与系数相等，可构造换元，是倒数换元法.⑥，不易求解，若反过来看，把设看作已知数，把设为设，则方程就变成，数字换元法不常用，但不失为一种巧妙的解题方法.有时根据方程各部分特点可设双元，达到化繁为简，求解的目的.例如：观察发现，故可设，，原方程变为，方程由繁变简，可得解.（四）本讲注重研究用换元法解方程的技能、技巧．拓宽学生知识面，培养学生学习和研究数学的兴趣.二、应用举例类型一局部换元（高次方程）【例题1】解方程：【答案】，，

3、，【解析】试题分析：通过观察发现，故设，原方程变形为，可把高次方程降次，转化为可解的一元二次方程.文案大全实用文档试题解析：解：设，则原方程变形为，解得，，，由得，解得，，由得，解得，，∴方程的解是，，，【难度】较易（分式方程）【例题2】解方程：【答案】，【解析】试题分析：括号里的分式相同，由这个特点，可以用换元法来解.试题解析：解：设，于是原方程变形为解得，当时，，解得，当时，，解得经检验，均为原方程的根.文案大全实用文档∴方程的解是，【难度】较易【例题3】已知实数满足，那么的值是（）【答案】【解析】试题分析：由于，故设，可解.试题解析：解：设，原方程化简得，∴，解得，由化简得，△＜0

4、，无解，舍去∴点评：方程中并无“相同”的部分时，可通过代数式间的关系变形构造出“相同”部分，设元.【难度】一般（无理方程）【例题4】解方程：文案大全实用文档【答案】，【解析】试题分析：这是一个根号里含有分式的无理方程，也可通过换元后求解，通过变形发现，与互为倒数，可设，则原方程变形为，无理方程化为有理方程.试题解析：解：设，则原方程变形为整理得解得，当时，，解得当时，，解得经检验，都是原方程的根.原方程的解是，【难度】一般【例题5】解方程【答案】，文案大全实用文档【解析】试题分析：注意到原方程可变为，可设两个未知数，利用韦达定理求解.试题解析：解：设，，原方程变为又∵∴，即根据韦达定理，

5、是方程的根解得，∵，∴舍去即或故或解得，经检验，是原方程的解文案大全实用文档∴方程的解是，【难度】一般类型二均值换元【例题6】解方程：【答案】，【解析】试题分析：观察方程可知，适合使用均值法换元，故设可达到降次目的.试题解析：解：设，原方程变为整理得解得（舍），即，文案大全实用文档由，得由，得∴原方程的解为，点评：一般形如的方程可用均值法，设进行代换，化原方程为双二次方程求解.【难度】较难类型三倒数换元【例题7】解方程：【答案】，,，【解析】试题分析：本题的特点是：按降幂排列后，与中间项等距离的项的系数相等，如与，与系数相等，可构造换元.试题解析：解：显然不是方程的解，故用除方程两边，整

6、理得，设，则，上式变为，整理得文案大全实用文档解得，，由，解得，由，解得，点评：形如的方程称为倒数方程，其特点是，按某一字母降幂排列后，与中间项等距离的项的绝对值相等，其解法是，用除各项，构造，使原方程变为一元二次方程得解.【难度】较难类型四常数换元【例题8】解方程【答案】，，【解析】试题分析：这是三次方程，且系数中含无理数，不易求解，若反过来看，把设看作已知数，把设为设，则方程就变成关于的一元二次方程.试题解析：解：设则原方程变形为即文案大全实用文档整理得或解得，，【难度】困难三、实战演练类型一局部换元（高次方程）1.已知，则的值为（）【答案】1【解析】试题分析：解题时把当成一个整体考

7、虑，再求解就比较简单.试题解析：解：设，，则原方程变形为，整理得，解得，，∵文案大全实用文档∴∴的值是1【难度】较易2.解方程：【答案】，，，【解析】试题分析：观察可知，方程整理后，可用换元法降次.试题解析：解：方程整理后设，则原方程变为解得，由，得，解得，由，得，解得，∴原方程的解是，，，【难度】较易3.方程，如果设，那么原方程可变形为（）A．B.C.D.文案大全实用文档【答案】D【解析】试题分析:注意到与互为相反数，只有符号要变