高一数学平面向量知识点及典型例题解析

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1、高一数学第八章平面向量第一讲向量的概念与线性运算一．【要点精讲】1．向量的概念①向量：既有大小又有方向的量。几何表示法，；坐标表示法。向量的模（长度），记作

2、

3、.即向量的大小，记作｜

4、。向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小.②零向量：长度为0的向量，记为，其方向是任意的，规定平行于任何向量。（与0的区别）③单位向量｜｜＝1。④平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量，记作∥⑤相等向量记为。大小相等，方向相同2．向量的运算（1）向量加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法.如图，已知向量a，b，在平面内任取一点，作a，b，则向量叫做a与b的和，记作a+b，即a+b特殊情况

5、：向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：...，但这时必须“首尾相连”。②向量减法：同一个图中画出要点:向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。（2）三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点.（3）实数与向量的积3．两个向量共线定理：向量与非零向量共线有且只有一个实数，使得=。二．【典例解析】题型一：向量及与向量相关的基本

6、概念概念例1判断下列各命题是否正确(1)零向量没有方向(2)若(3)单位向量都相等(4)向量就是有向线段(5)两相等向量若共起点,则终点也相同(6)若，，则；(7)若，，则(8)的充要条件是且；(9)若四边形ABCD是平行四边形,则练习.(四川省成都市一诊)在四边形ABCD中，“”是“四边形ABCD为梯形”的A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件题型二:考查加法、减法运算及相关运算律例2化简=练习1.下列命题中正确的是A．B．C．D．2.化简得...A．B．C．D．3．如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则(　　)A.＋＋

7、＝0B.－＋＝0C.＋－＝0D.－－＝0题型三:结合图型考查向量加、减法例3在所在的平面上有一点，满足，则与的面积之比是()A．B．C．D．例4重心、垂心、外心性质ABCDE练习:1．如图，在ΔABC中，D、E为边AB的两个三等分点，=3a，=2b，求，．2已知求证3若为的内心，且满足，则的形状为（）A.等腰三角形B.正三角形C.直角三角形D.钝角三角形4．已知O、A、B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2＋＝0，则＝(　　)A．2－B．－＋2C.－D．－＋...5．已知平面上不共线的四点O，A，B，C.若－3＋2＝0，则等于________．6．已知平面内有一点P及一

8、个△ABC，若＋＋＝，则(　　)A．点P在△ABC外部B．点P在线段AB上C．点P在线段BC上D．点P在线段AC上7．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ等于(　　)A.B.C．－D．－题型四:三点共线问题例4设是不共线的向量,已知向量,若A,B,D三点共线,求k的值例5已知A、B、C、P为平面内四点，A、B、C三点在一条直线上=m+n，求证：m+n=1．练习：1．已知：，则下列关系一定成立的是（）A、A，B，C三点共线B、A，B，D三点共线C、C，A，D三点共线D、B，C，D三点共线2．(原创题)设a，b是两个不共线的向量，若＝2a＋kb，＝a＋b，＝2a

9、－b，且A，B，D三点共线，则实数k的值等于________．第2讲平面向量的基本定理与坐标表示一．【要点精讲】1．平面向量的基本定理...如果是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数使：其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.2．平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与轴、轴方向相同的_单位向量_、作为基底任作一个向量，有且只有一对实数、，使得…………，把叫做向量的（直角）坐标，记作…………其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，式叫做向量的坐标表示与相等的向量的坐标也为特别地，，，特别提醒：设，则向量的坐标就是点的

10、坐标；反过来，点的坐标也就是向量的坐标因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示3．平面向量的坐标运算（1）若，，则=，=（2）若，，则（3）若和实数，则4．向量平行的充要条件的坐标表示：设=(x1,y1)，=(x2,y2)其中¹BCAOMD∥(¹)的充要条件是二．【典例解析】题型一.利用一组基底表示平面内的任一向量[例1]在△OAB中，，AD与BC交于点M，设=，=，用,表示....练习:1．若已知、是平面上的一组基底，则下列各组向量中不能作为基底的一组是()A．与