导数与恒成立、能成立问题和课后练习(含答案)

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时间:2019-08-23

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1、..导数与恒成立、能成立问题专题一、基础理论回顾1、恒成立问题的转化:恒成立;2、能成立问题的转化:能成立;3、恰成立问题的转化:在M上恰成立的解集为M另一转化方法:若在D上恰成立,等价于在D上的最小值,若在D上恰成立,则等价于在D上的最大值.4、设函数、,对任意的,存在,使得,则5、设函数、,对任意的,存在,使得,则6、设函数、,存在,存在,使得,则7、设函数、,存在,存在,使得,则8、若不等式在区间D上恒成立,等价于在区间D上函数和图象在函数图象上方;9、若不等式在区间D上恒成立,等价于在区间D上函

2、数和图象在函数图象下方;word完美格式..二、经典题型解析题型一、简单型例1、已知函数,,其中,.1)对任意,都有恒成立,求实数的取值范围;(构造新函数)2)对任意,都有恒成立,求实数的取值范围;(转化)简解:(1)由成立,只需满足的最小值大于即可.对求导,,故在是增函数,,所以的取值范围是.例2、设函数,对任意,都有在恒成立,求实数的范围.分析:思路、解决双参数问题一般是先解决一个参数,再处理另一个参数.以本题为例,实质还是通过函数求最值解决.方法1:化归最值,;方法2:变量分离,或;方法3:变更主

3、元(新函数),,简解:方法1:对求导,,(单调函数)由此可知,在上的最大值为与中的较大者.,对于任意,得的取值范围是.例3、已知两函数,,对任意,存在,使得,则实数m的取值范围为答案:题型二、更换主元和换元法例1、已知函数是实数集上的奇函数,函数是区间word完美格式..上的减函数,(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若上恒成立,求的取值范围;(Ⅱ)分析:在不等式中出现了两个字母:及,关键在于该把哪个字母看成是一个变量,另一个作为常数。显然可将视作自变量,则上述问题即可转化为在内关于的一次函数大于等于0恒成立的问题。(

4、Ⅱ)略解:由(Ⅰ)知:,,在上单调递减,在上恒成立,,只需,(其中)恒成立,由上述②结论:可令,则,,而恒成立,。例2、已知二次函数对恒有,求的取值范围。解:对恒有即变形为当时对任意的都满足只须考虑的情况即要满足题意只要保证比右边的最大值大就行。现求在上的最大值。令()所以又是二次函数所以且例3、对于满足0a4的所有实数a求使不等式都成立的x的取值范围答案:或题型三、分离参数法(欲求某个参数的范围,就把这个参数分离出来)此类问题可把要求的参变量分离出来,单独放在不等式的一侧,将另一侧看成新函数,于是将问

5、题转化成新函数的最值问题:若对于取值范围内的任一个数都有恒成立,则;若对于取值范围内的任一个数都有恒成立,则.例1、当时,不等式恒成立,则的取值范围是.解析:当时,由得.∴.例2、已知函数(为常数)是实数集上的奇函数,函数在区间word完美格式..上是减函数.(Ⅰ)求的值与的范围;(Ⅱ)若对(Ⅰ)中的任意实数都有在上恒成立,求实数的取值范围.(Ⅲ)若,试讨论关于的方程的根的个数.解:(Ⅰ)、(Ⅲ)略(Ⅱ)由题意知,函数在区间上是减函数.在上恒成立题型四、数形结合(恒成立问题与二次函数联系(零点、根的分布

6、法))例1、若对任意,不等式恒成立,则实数的取值范围是________解析:O对,不等式恒成立、则由一次函数性质及图像知,即。例2、不等式在内恒成立,求实数a的取值范围。解:画出两个凼数和在上的图象如图word完美格式..xy03知当时,当时总有所以O例4、已知函数若不等式恒成立,则实数的取值范围是.解:在同一个平面直角坐标系中分别作出函数及的图象,由于不等式恒成立,所以函数的图象应总在函数的图象下方,因此,当时,所以故的取值范围是题型五、其它(最值)处理方法若在区间D上存在实数使不等式成立,则等价于在

7、区间D上;若在区间D上存在实数使不等式成立,则等价于在区间D上的.利用不等式性质1、存在实数,使得不等式有解,则实数的取值范围为______。解:设,由有解,,word完美格式..又,∴,解得。2、若关于的不等式恒成立,试求a的范围解:由题意知只须a比的最小值相同或比其最小值小即可,得由所以利用分类讨论1、已知函数在区间[-1,2]上都不小于2,求a的值。解:由函数的对称轴为x=a所以必须考察a与-1,2的大小,显然要进行三种分类讨论1).当a2时f(x)在[-1,2]上是减函数此时=f(2)=4-4a

8、+4即a结合a2,所以a22).当a时f(x)在[-1,2]上是增函数,此时f(-1)=1+2a+4=f(-1)=1+2a+4结合a即a3).当-1

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