概率问题常见解题方法

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1、概率问题常见解题方法作为<<概率统计>>这门应用数学的重要分支之一,概率问题在中学数学中越来越得到重视,也是近年高考的热点。在高中数学新教材中,必修三和理科的选修课本中重点介绍了等可能事件的概率(即古典概型)、几何概型、条件概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立的事件同时发生的概率（包括n次独立重复试验）。高考中对概率的考查主要以大题形式出现,重点在分布列问题与其他章节内容相结合，但始终离不开各种概率的求法。因此要让学生正确理解概率发生的条件，并掌握一些基本的概率“模型”及其解题方法。一、公式法概率部分有四个主要的公式（1

2、）等可能事件发生的概率P（A）=（2）互斥事件有一个发生的概率P（A+B）=P（A）+P（B）（3）相互独立事件同时发生的概率P（A·B）=P（A）·P（B）（4）独立重复试验概率公式(1―P)，应用这些公式的关键在于正确理解公式成立的条件。例1：猎人在距100米处射击一野兔，其命中率为，如果第一次射击未中，则猎人进行第二次射击，但距离为150米，如果第二次未击中，则猎人进行第三次射击，并且在发射瞬间距离为200米，已知猎人命中概率与距离平方成反比，求猎人命中野兔的概率。解：记三次射击为事件A、B、C其中P（A）=由=P（A

3、）=∴P（B）=P（C）=∴命中野兔的概率为：P（A）+P（·B）+P（··C）=二、组合分析法对于等可能的事件，我们可以利用组合分析法来计算其概率，其关键是寻求等可能事件的总数和事件的发生数。例2：设有n个人，每个人都等可能地被分配到N个房间中的任意一间去住（n≤N）,求下列事件的概率（1）指定的n个房间各有一个人住（2）恰好有n个房间，其中各住一人解：∵每个人有N个房间可供选择，所以n个人住的方式共有Nn种，它们是等可能的，4/4∴（1）指定n个房间各有一个人住记作事件A：可能的总数为n！则P（A）=（2）恰好有n个房间

4、其中各住一人记作事件B，则这n个房间从N个房间中任选共有个,由（1）可知：P（B）=三、间接法某些概率问题，正面求解，不是很容易，特别当问题中出现至多（至少）等条件时，可采用间接方法转化为“对立事件”来求解例3：已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机制概率为0.2（1）假定有5门这种高炮控制某区域，求敌机进入该区域后被击中的概率。（2）要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，需至少布置几门高炮？解：（1）设敌机被第k门高炮击中的事件为Ak（k=1、2、3、4、5）那么5门高炮都未击中敌机的事件为····∵Ai是相互

5、独立事件∴敌机击被击中的概率为：P（····）=P（）·P（）·P（）·P（）·P（）=(1―0.2)5=∴P=1－(2)设至少需要n门高炮使敌机有0.9以上的概率被击中，则：1―>0.9解得：n>10.3∵n∈N+∴至少需要11门高炮才能有0.9以上的概率击中敌机。四、转化法当依据题意所表述的形式难于思考时，可将该问题转化成一个熟悉的“概率模型”，从而求得其解。例4：某数学家有两盒火柴，每盒都有n根火柴，每次用火柴时，他在两盒中任取一盒并从中任取出一根，求他发现用完一盒时，另一盒还有r根（1≤r≤n）的概率。解：由题意数学

6、家共用了2n―r根火柴，其中n根取自一盒，n―r根取自另一盒，于是此问题可等价转化为：“2n―r个不同的球，放入两个盒子，求甲盒放n个，乙盒放n―r的概率”，记作事件A，因每个球放入两个盒子共有2种放法4/4∴2n―r个球的所有等可能结果为，甲盒放入n个球的可能结果为∴P（A）=五、枚举法对于带有开放性的概率问题，首先要弄清题意，恰当理解陈述问题的材料，联想所学的概率模型、分类讨论，然后表述解决问题的方案。例5：基本系统是由四个整流二极管（串、并）联而成，已知每个二极管的可靠度为0.8（即正常工作），若要求系统的可靠度0.8

7、5，请你设计二极管的联结方式。解：设系统可靠性为P（1）若全并联，则P=1―0.24=0.9984>0.85（2）若两个两个串联后再并联，则P=(1―0.82)2=0.8704>0.85（3）两个两个并联后再串联，则P=(1―0.22)2=0.9216>0.85（4）三个串联与第四个并联，则1―0.2（1―0.83）=0.9024>0.85∴设计如下→→→→→→→→六、几何法有些事件发生的结果满足某一代数关系式，则事件发生的概率可依据几何意义来求：例6：甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟

8、，过时即刻离去，求两人会面的概率。解：设x、y分别为甲乙两人到达约会地点的时间，若两个人能会面，则

9、x―y

10、≤1560601515如图：则（x、y）的所有可能结果是边长为60的正方形内的所有点的集合，由等可能事件的概率求法可知：P（A）=4/4从以上几种解法可以看出，解决概率问题的步骤可归