2019_2020学年高中数学第1章导数及其应用1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念学案新人教A版

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1.1.1 变化率问题1.1.2 导数的概念学 习 目 标核 心 素 养1.通过对大量实例的分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率.(重点)3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数.(重点、难点)4.理解函数的平均变化率,瞬时变化率及导数的概念.(易混点)1.通过对函数的平均变化率、瞬时变化率、导数的概念的学习,培养学生的数学抽象核心素养.2.通过求平均变化率、瞬时变化率及导数的学习,培养逻辑推理及数学运算的核心素养.1.函数的平均变化率(1)函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率为=,其中Δx=x2-x1是相对于x1的一个“增量”,Δy=f(x2)-f(x1)=f(x1+Δx)-f(x1)是相对于f(x1)的一个“增量”.(2)平均变化率的几何意义设A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))是曲线y=f(x)上任意不同的两点,函数y=f(x)的平均变化率==为割线AB的斜率,如图所示.思考:Δx,Δy的值一定是正值吗?平均变化率是否一定为正值?[提示] Δx,Δy可正可负,Δy也可以为零,但Δx不能为零.平均变化率可正、可负、可为零.2.瞬时速度与瞬时变化率(1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.(2)函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率是函数f(x)从x0到x0+Δx的平均变化率在Δx→0时的极限,即 = .3.导数的概念函数y=f(x)在x=x0处的导数就是函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率,记作f′(x0)或y′|x=x0,即f′(x0)= .1.函数y=f(x),自变量x由x0改变到x0+Δx时,函数的改变量Δy为(  )A.f(x0+Δx)   B.f(x0)+ΔxC.f(x0)·Δx D.f(x0+Δx)-f(x0)D [Δy=f(x0+Δx)-f(x0),故选D.]2.若一质点按规律s=8+t2运动,则在一小段时间[2,2.1]内的平均速度是(  )A.4 B.4.1C.0.41 D.-1.1B [====4.1,故选B.]3.函数f(x)=x2在x=1处的瞬时变化率是________.2 [∵f(x)=x2.∴在x=1处的瞬时变化率是===(2+Δx)=2.]4.函数f(x)=2在x=6处的导数等于________.0 [f′(6)= = =0.]求函数的平均变化率【例1】 已知函数f(x)=3x2+5,求f(x):(1)从0.1到0.2的平均变化率;(2)在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率.[解] (1)因为f(x)=3x2+5,所以从0.1到0.2的平均变化率为=0.9.(2)f(x0+Δx)-f(x0)=3(x0+Δx)2+5-(3x+5)=3x+6x0Δx+3(Δx)2+5-3x-5=6x0Δx+3(Δx)2.函数f(x)在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率为=6x0+3Δx.1.求函数平均变化率的三个步骤第一步,求自变量的增量Δx=x2-x1;第二步,求函数值的增量Δy=f(x2)-f(x1);第三步,求平均变化率=.2.求平均变化率的一个关注点求点x0附近的平均变化率,可用的形式.1.如图所示,函数y=f(x)在A,B两点间的平均变化率等于(  )A.1     B.-1C.2 D.-2B [平均变化-省略部分-Δt)=1.∴物体在t=0时的瞬时变化率为1,即物体的初速度为1 m/s.2.(变结论)在本例条件不变的前提下,试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s.[解] 设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s.又==(2t0+1)+Δt. = (2t0+1+Δt)=2t0+1.则2t0+1=9,∴t0=4.则物体在4 s时的瞬时速度为9 m/s.求运动物体瞬时速度的三个步骤(1)求时间改变量Δt和位移改变量Δs=s(t0+Δt)-s(t0).(2)求平均速度=.(3)求瞬时速度,当Δt无限趋近于0时,无限趋近于常数v,即为瞬时速度.求函数在某一点处的导数【例3】 (1)设函数y=f(x)在x=x0处可导,且 =1,则f′(x0)等于(  )A.1 B.-1C.- D.(2)求函数f(x)=x-在x=1处的导数.思路探究:(1)类比f′(x0)= 求解.(2)―→―→(1)C [∵ = =-3f′(x0)=1,∴f′(x0)=-,故选C.](2)[解] ∵Δy=(1+Δx)--=Δx+1-=Δx+,∴==1+,∴f′(1)= = =2.求函数y=f(x)在点x0处的导数的三个步骤简称:一差、二比、三极限.3.已知f′(1)=-2,则 =________.4 [∵f′(1)=-2,∴ = =-2 =-2f′(1)=-2×(-2)=4.]4.求函数y=3x2在x=1处的导数.[解] ∵Δy=f(1+Δx)-f(1)=3(1+Δx)2-3=6Δx+3(Δx)2,∴=6+3Δx,∴f′(1)= = (6+3Δx)=6.1.极限思想是逼近的思想,瞬时变化率就是平均变化率的极限.2.函数y=f(x)在x=x0处的导数f′(x0)反映了函数在该点处的瞬时变化率,它揭示了事物在某时刻的变化情况.即:f′(x0)= = = ,且y=f(x)在x0处的导数是一个局部概念.特别提醒:①取极限前,要注意化简,保证使Δx→0时分母不为0.②函数在x0处的导数f′(x0)只与x0有关,与Δx无关.③导数可以描述任何事物的瞬时变化率,应用非常广泛.1.一物体的运动方程是s=3+2t,则在[2,2.1]这段时间内的平均速度是(  )A.0.4 B.2 C.0.3 D.0.2B [===2.]2.物体自由落体的运动方程为s(t)=gt2,g=9.8 m/s2,若v= =9.8 m/s,那么下列说法中正确的是(  )A.9.8 m/s是物体从0 s到1 s这段时间内的速率B.9.8 m/s是1 s到(1+Δt)s这段时间内的速率C.9.8 m/s是物体在t=1 s这一时刻的速率D.9.8 m/s是物体从1 s到(1+Δt)s这段时间内的平均速率C [结合平均变化率与瞬时变化率可知选项C正确.]3.函数f(x)=在x=1处的导数为________. [∵Δy=f(1+Δx)-f(1)=-1,∴==,∴f′(1)= = =.]4.设f(x)在x0处可导,若 =A,则f′(x0)=________. [ =3 =3f′(x0)=A.故f′(x0)=A.]5.在曲线y=f(x)=x2+3上取一点P(1,4)及附近一点(1+Δx,4+Δy),求:(1);(2)f′(1).[解] (1)===2+Δx.(2)f′(1)= = (2+Δx)=2.
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