【教学设计】《任意角的三角函数》(人教版)

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《任意角的三角函数》成都二十中 谢波老师u 教学目标【知识与技能】1.掌握任意角的三角函数的定义; 2.已知角α终边上一点,会求角α的各三角函数值; 3.记住三角函数的定义域、值域,诱导公式(一)。【过程与方法】1.理解并掌握任意角的三角函数的定义;2.树立映射观点,正确理解三角函数是以实数为自变量的函数;3.通过对定义域,三角函数值的符号,诱导公式一的推导,提高学生分析、探究、解决问题的能力。 【情感态度与价值观】1.使学生认识到事物之间是有联系的,三角函数就是角度(自变量)与比值(函数值)的一种联系方式;2.学习转化的思想,培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神;u 教学重难点【教学重点】任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号),以及这三种函数的第一组诱导公式。公式一是本小节的另一个重点。【教学难点】利用与单位圆有关的有向线段,将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用他们的集合形式表示出来。u 教学过程:第一课时一、新课引入:初中锐角的三角函数是如何定义的?在Rt△ABC中,设A对边为a,B对边为b,C对边为c,锐角A的正弦、余弦、正切依次为 。角推广后,这样的三角函数的定义不再适用,我们必须对三角函数重新定义。二、讲解新课: 1.三角函数定义在直角坐标系中,设α是一个任意角,α终边上任意一点(除了原点)的坐标为,它与原点的距离为,那么(1)比值叫做α的正弦,记作,即;(2)比值叫做α的余弦,记作,即;(3)比值叫做α的正切,记作,即;(4)比值叫做α的余切,记作,即;说明:①α的始边与轴的非负半轴重合,α的终边没有表明α一定是正角或负角,以及α的大小,只表明与α的终边相同的角所在的位置;②根据相似三角形的知识,对于确定的角α,四个比值不以点在α的终边上的位置的改变而改变大小;③当时,α的终边在轴上,终边上任意一点的横坐标都等于,所以无意义;同理当时,无意义; ④除以上两种情况外,对于确定的值α,比值、、、分别是一个确定的实数,正弦、余弦、正切、余切是以角为自变量,比值为函数值的函数,以上四种函数统称为三角函数。函 数定 义 域值 域2.三角函数的定义域、值域注意:(1)在平面直角坐标系内研究角的问题,其顶点都在原点,始边都与x轴的非负半轴重合。(2) α是任意角,射线OP是角α的终边,α的各三角函数值(或是否有意义)与ox转了几圈,按什么方向旋转到OP的位置无关。(3)sin是个整体符号,不能认为是“sin”与“α”的积,其余五个符号也是这样。(4)任意角的三角函数的定义与锐角三角函数的定义的联系与区别:锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例,它们的基础共建立于相似(直角)三角形的性质,“r”同为正值。所不同的是,锐角三角函数是以边的比来定义的,任意角的三角函数是以坐标与距离、坐标与坐标、距离与坐标的比来定义的,它也适合锐角三角函数的定义。实质上,由锐角三角函数的定义到任意角的三角函数的定义是由特殊到一般的认识和研究过程。(5)为了便于记忆,我们可以利用两种三角函数定义的一致性,将直角三角形置于平面直角坐标系的第一象限,使一锐角顶点与原点重合,一直角边与x轴的非负半轴重合,利用我们熟悉的锐角三角函数类比记忆。3.例题分析例1.求下列各角的四个三角函数值:(通过本例总结特殊角的三角函数值-省略部分-学目标【知识与技能】1.复习三角函数的定义、定义域与值域、符号、及诱导公式;2.利用三角函数线表示正弦、余弦、正切的三角函数值;3.利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围。【过程与方法】掌握用单位圆中的线段表示三角函数值,从而使学生对三角函数的定义域、值域有更深的理解。【情感态度与价值观】学习转化的思想,培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神;教学重难点【教学重点】正弦、余弦、正切线的概念。【教学难点】正弦、余弦、正切线的利用。教学过程:一、复习引入:1. 三角函数的定义2. 诱导公式练习1. 练习2. 练习3. 二、讲解新课: 当角的终边上一点的坐标满足时,有三角函数正弦、余弦、正切值的几何表示——三角函数线。1.有向线段:坐标轴是规定了方向的直线,那么与之平行的线段亦可规定方向。规定:与坐标轴方向一致时为正,与坐标方向相反时为负。有向线段:带有方向的线段。2.三角函数线的定义:设任意角的顶点在原点,始边与轴非负半轴重合,终边与单位圆相交与点,过作轴的垂线,垂足为;过点作单位圆的切线,它与角的终边或其反向延长线交与点。(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅳ)(Ⅲ)由四个图看出:当角的终边不在坐标轴上时,有向线段,于是有, ,我们就分别称有向线段为正弦线、余弦线、正切线。说明:(1)三条有向线段的位置:正弦线为的终边与单位圆的交点到轴的垂直线段;余弦线在轴上;正切线在过单位圆与轴正方向的交点的切线上,三条有向线段中两条在单位圆内,一条在单位圆外。(2)三条有向线段的方向:正弦线由垂足指向的终边与单位圆的交点;余弦线由原点指向垂足;正切线由切点指向与的终边的交点。(3)三条有向线段的正负:三条有向线段凡与轴或轴同向的为正值,与轴或轴反向的为负值。(4)三条有向线段的书写:有向线段的起点字母在前,终点字母在后面。4.例题分析:例1.作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线。(1); (2); (3); (4).解:图略。例2. 例5. 利用单位圆写出符合下列条件的角x的范围.答案:(1);(2);三、巩固与练习:P17页练习四、小结:本节课学习了以下内容:1.三角函数线的定义; 2.会画任意角的三角函数线;3.利用单位圆比较三角函数值的大小,求角的范围。参考资料例1.利用三角函数线比较下列各组数的大小:1° 与 2° 与 解: 如图可知: tan tan 例2.利用单位圆寻找适合下列条件的0°到360°的角xyoTA210°30°xyoP1P21° sina≥ 2° tana 解: 1° 2°30°≤a≤150° 30°a90°或210°a270°补充:1.利用余弦线比较的大小;2.若,则比较、、的大小;3.分别根据下列条件,写出角的取值范围: (1) ; (2) ; (3)
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