2020年中考数学圆压轴突破训练：提高篇（含解析）

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1、2020年中考数学备考之圆压轴突破训练：提高篇1．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一动点（不与点A、B重合），D是半圆ADB中点，C、D在直径AB的两侧．（1）过点C作⊙P的切线交DB的延长线于E，当∠BAC＝30°时，求证：BC＝CE．（2）若在⊙O内存在点P，使得AP＝AD，CB＝CP．①证明：AC2+CP2＝2AP2②当△ACP是直角三角形时，求∠AOC的度数．解：（1）证明：∵CE是⊙P的切线，∠BAC＝30°，∴∠BCE＝∠BAC＝30°．∵AB是⊙O的直径，D是半圆ADB中点，∴△ADB是等腰直角三角形，∠BAD＝45°，∴∠CAD＝∠BAC+∠BAD＝3

2、0°+45°＝75°．∵四边形ADBC是⊙O的内接四边形，∴∠CBE＝∠CAD＝75°，∴∠E＝180°﹣∠BCE﹣∠CBE＝180°﹣30°﹣75°＝75°，∴∠E＝∠CBE＝75°，∴BC＝CE；（2）①证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴AC2+BC2＝AB2，∵CB＝CP，∴AC2+CP2＝AB2．∵△ADB是等腰直角三角形，且∠ADB＝90°，AD＝BD，∴AB2＝AD2+BD2＝2AD2，∵AP＝AD，∴AB2＝2AP2，∴AC2+CP2＝2AP2；②解：∵AC2+CP2＝2AP2，∴当△ACP是直角三角形时，AP不可能为斜边，所以分两种情况：（

3、Ⅰ）当AC为斜边时，则AP2+CP2＝AC2，又∵AC2+CP2＝2AP2，∴AP2+CP2+CP2＝2AP2，∴AP2＝2CP2，∵AB2＝2AP2，∴AB2＝4CP2＝4BC2，∴AB＝2BC，∴∠CAB＝30°，∴∠BOC＝60°，∴∠AOC＝120°；（Ⅱ）当CP为斜边时，则AP2+AC2＝CP2，又∵AC2+CP2＝2AP2，∴AP2+AC2＝2AP2﹣AC2，∴AP2＝2AC2，∵AB2＝2AP2，∴AB2＝4AC2，∴AB＝2AC，∴∠ABC＝30°，∴∠AOC＝60°．综上可知，∠AOC为120°或60°．2．如图，点D是⊙O的直径CA延长线上一点，点B

4、在⊙O上，且∠D＝∠C＝30°．（1）求证：BD是⊙O的切线．（2）分别过B、F两点作DC的垂线，垂足分别为M、N，且CN：CM＝2：3若点E是劣弧BC上一点，AE与BC相交于点F，△ABC的面积为12cm2，cos∠EFC＝，求△BFE的面积．（1）证明：如图，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠C＝30°，而∠DBC＝180°﹣∠D﹣∠C＝180°﹣30°﹣30°＝120°，∴∠OBD＝120°﹣∠OBC＝120°﹣30°＝90°，∴OB⊥BD，∴BD是⊙O的切线；（2）解：∵BM⊥AC，FN⊥AC，∴S△FAC：S△BAC＝FN：BM，FN∥BM，∴△CFN∽△CBN，∴

5、FN：BM＝CN：CM，而CN：CM＝2：3，△ABC的面积为12cm2，∴S△FAC：12＝FN：BM＝2：3，∴S△FAC＝8，∵∠E＝∠C，∠FBE＝∠CAF，∴△FBE∽△FAC，∴＝（）2，又∵cos∠EFC＝，而AC是⊙O的直径，∴∠ABF＝90°，在Rt△ABF中，∠ABF＝90°，cos∠BFA＝＝∴＝（）2＝（）2＝，∴S△BFE＝8×＝．3．如图，直线y＝2x+2与x轴，y轴分别交于A，E两点，D是在第一象限内直线上运动的一个动点，以ED为边作正方形EDCB，连结CE，作EC⊥CF与过A，D，C三点的圆交于点F，连结DF．（1）求AE的长；（2）请你

6、在图中添加一条线段（不再标注其他字母），从而构造一个三角形与△FDC相似，并说明理由；（3）点D在运动过程中，CF的长度是否改变？若不变，请求出CF的长；若变化，请说明理由．解：（1）把x＝0代入y＝2x+2得y＝2，则E点坐标为（0，2），把y＝0代入y＝2x+2得2x+2＝0，解得x＝﹣1，则A点坐标为（﹣1，0），所以AE＝＝＝；（2）连结AC，则△ACE∽△FDC．理由如下：∵四边形BEDC为正方形，∴∠DCE＝∠DEC＝45°，∴∠AEC＝135°，∵EC⊥CF，∴∠DCF＝45°+90°＝135°，∴∠AEC＝∠DCF，∵∠DAC＝∠DFC，∴△ACE∽△F

7、DC；（3）CF的长度不改变．∵△ACE∽△FDC，∴＝，∵△DEC为等腰直角三角形，∴EC＝DC，∴＝，∴CF＝．4．直角坐标系xOy中，有反比例函数上的一动点P，以点P为圆心的圆始终与y轴相切，设切点为A（1）如图1，⊙P运动到与x轴相切时，求OP2的值．（2）设圆P运动时与x轴相交，交点为B、C，如图2，当四边形ABCP是菱形时，①求出A、B、C三点的坐标．②设一抛物线过A、B、C三点，在该抛物线上是否存在点Q，使△QBP的面积是菱形ABCP面积的？若存在，求出所有满足条件的Q点的坐标；若不存在，说明理由．解：（1）∵⊙P分别与两坐