高中数学第一章直线多边形圆1.3圆与四边形1.3.1圆内接四边形学案

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1、1.3．1　圆内接四边形课标解读1.了解圆内接四边形的概念．2．掌握并灵活运用圆内接四边形的性质定理与判定定理及其推论.图1－3－11．圆内接四边形的性质定理及推论(1)圆内接四边形的性质定理圆内接四边形的对角互补．如图1－3－1，四边形ABCD内接于⊙O，则有：∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠D＝180°.(2)推论图1－3－225圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角．如图1－3－2，∠CBE是圆内接四边形ABCD的一外角，则有：∠CBE＝∠D.2．圆内接四边形的判定定理及推论(1)判定定理：如果一个四边形的内对角互补，那么这个四边形四个顶点共圆．如

2、图1－3－3①，若∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠D＝180°，则四边形ABCD内接于⊙O.(2)推论：如果四边形的一个外角等于其内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．如图1－3－3②，若∠CBE＝∠D，则四边形ABCD内接于⊙O.图1－3－31．判定四点共圆的方法有哪些？【提示】　(1)如果四个点与一定点距离相等，那么这四个点共圆．(2)如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．(3)如果一个四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．(4)如果两个直角三角形有公共的斜边，那么这两个三角形的四个顶点共圆．(因为四个顶点与

3、斜边中点距离相等)图1－3－42．如图1－3－4，在四边形ABCD中，若∠ADB＝∠ACB，那么A，B，C，D25共圆吗？为什么？【提示】　A，B，C，D共圆．假设A，B，C，D不共圆，其中C点在圆外C1处．设AC1交⊙O于E点，连接BE，∵A、B、E、D四点共圆，∴∠ADB＝∠AEB.又知∠AEB是△BEC的一个外角，∴∠AEB＞∠ACB，∴∠ADB＞∠ACB，这与∠ADB＝∠ACB矛盾．∴假设不成立．同理若C1(C)点在⊙O内，则有：∠ACB＞∠ADB，与∠ADB＝∠ACB矛盾．因此A、B、C、D共圆.圆内接四边形的性质图1－3－5　如图1－3－5，在

4、Rt△ABC中，∠ACB＝90°，在AB上截取PA＝AC，以PC为直径的圆分别交AB、BC、AC于D、E、F.求证：＝.25【思路探究】　先利用PC是圆的直径，得到PF∥BC，再利用圆内接四边形的性质，得到DF∥PC，最后利用平行线分线段成比例证明结论．【自主解答】　连接DF、PF.∵PC是直径，∴PF⊥AC.∵BC⊥AC，∴PF∥BC，∴＝.∵四边形PCFD内接于⊙O，∴∠ADF＝∠ACP，∵AP＝AC，∴∠APC＝∠ACP.∴∠ADF＝∠APC.∴DF∥PC，∴＝，∴＝.1．在本题的证明过程中，都是利用角相等证明了两直线平行，然后利用直线平行，得到比例

5、式相等．2．圆内接四边形的性质即对角互补，一个外角等于其内对角，可用来作为三角形相似或两直线平行的条件，从而证明一些比例式成立或证明某些等量关系．已知四边形ABCD内接于圆，DE∥AC，交BC的延长线于E，求证：AB·CE＝AD·CD.【证明】　如图，连接BD，∵DE∥AC，∴∠E＝∠ACB.∵∠ACB＝∠ADB，25∴∠ADB＝∠E.在△ABD与△CDE中，∵∠ADB＝∠E，∠BAD＝∠DCE，∴△ABD∽△CDE.∴＝.故AB·CE＝AD·CD.圆内接四边形的判定图1－3－6　如图1－3－6，在△ABC中，E，D，F分别为AB，BC，AC的中点，且AP

6、⊥BC于P.求证：E、D、P、F四点共圆．【思路探究】　证明本题可先连接PF，构造四边形EDPF的外角∠FPC，证明∠FPC＝∠C，再证明∠FPC＝∠FED即可得出结论．【自主解答】　连接PF，∵AP⊥BC，F为AC的中点，∴PF＝AC.∵FC＝AC，∴PF＝FC，25∴∠FPC＝∠C.∵E，F，D分别为AB，AC，BC的中点，∴EF∥CD，ED∥FC，∴四边形EDCF为平行四边形，∴∠FED＝∠C，∴∠FPC＝∠FED，∴E，D，P，F四点共圆．251．本题证明的关键是如何使用点E、D、F是中点这一条件．2．要判定四点共圆，多借助四边形的对角互补或外角与

7、内对角的关系进行证明．　图1－3－7如图1－3－7，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC的顶点重合．已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2－14x＋mn＝0的两个根，(1)证明：C，B，D，E四点共圆；(2)若∠A＝90°，且m＝4，n＝6，求C，B，D，E所在圆的半径．【证明】　(1)如图，连接DE，在△ADE和△ACB中，AD·AB＝mn＝AE·AC，即＝.又∠DAE＝∠CAB，从而△ADE∽△ACB.因此∠ADE＝∠ACB.所以C，B，D，E四点共圆．(2)m＝4，n＝6时，方程x2－14x＋mn＝0的两

8、根为x1＝2，x2＝12，故AD＝2，AB＝12.如图，取CE的中