湘教版2019秋九年级数学上册专题 6.模型构建专题：相似三角形中的基本模型

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1、模型构建专题：相似三角形中的基本模型　　　　　　　　　　　　　　　　　　　类型一　“A”字型1．如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E.若AD＝3，DB＝2，BC＝6，则DE的长为________．第1题图第2题图2．如图，在Rt△ABC中，AB＝BC，∠B＝90°，AC＝10.四边形BDEF是△ABC的内接正方形(点D、E、F在三角形的边上)．则此正方形的面积是________．3．如图，菱形ABCD的边长为1，直线l过点C，交AB的延长线于点M，交AD的延长线于点N，则＋＝________．第3题图4．如图①，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B、

2、D，AD和BC交于点E，EF⊥BD，垂足为F，我们可以证明＋＝成立．若将图①中的垂直改为斜交，如图②，AB∥CD，AD与BC交于点E，过点E作EF∥AB交BD于F，则＋＝还成立吗？如果成立，给出证明；如果不成立，请说明理由．类型二　“X”字型5．(2016·哈尔滨中考)如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD相交于点F，则下列结论一定正确的是(　　)A.＝B.＝C.＝D.＝第5题图　　　　第6题图6．如图，▱ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则DF∶BD等于(　　)A．2∶3B．2∶1C．1∶2D．1∶37．如图，四边形

3、ABCD中，AD∥BC，点E是边AD的中点，连接BE并延长交CD的延长线于点F，交AC于点G.(1)若FD＝2，＝，求线段DC的长；(2)求证：EF·GB＝BF·GE.类型三　旋转型8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C，点B′在AB上，A′B′交AC于F，则图中与△AB′F相似的三角形有(不再添加其他线段)(　　)A．1个B．2个C．3个D．4个类型四　“子母”型(大三角形中包含小三角形)9．如图，要使△ABC与△DBA相似，则只需添加一个适当的条件是__________　(填一个即可)．第9题图　　　　　第10题

4、图10．在△ABC中，D为AB边上一点，且∠BCD＝∠A，已知BC＝2，AB＝3，则BD＝________．类型五　垂直型11．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，E为AB上一点，分别以ED、EC为折痕将两个角(∠A、∠B)向内折起，点A、B恰好落在CD边的点F处，若AD＝3，BC＝5，则EF的值是（）A.B．2C.D．2第11题图　　　　　第12题图12．如图，矩形ABCD中，M是BC边上且与B、C不重合的点，点P是射线AM上的点，若以A、P、D为顶点的三角形与△ABM相似，则这样的点P有_______个．13．★如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为(0，4

5、)，直线y＝x－3与x轴、y轴分别交于点A、B，点M是直线AB上的一个动点，则PM长的最小值为________．　　　　　14．(2016·齐齐哈尔中考)如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，AD与BE相交于点F.(1)求证：△ACD∽△BFD；(2)当AD＝BD，AC＝3时，求BF的长．类型六　一线三等角型15．如图，等边△ABC的边长为6，D是BC边上的点，∠EDF＝60°.若BD＝1，CF＝3时，则BE的长为________．【方法12】第15题图　　　　变式题图【变式题】如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，D在BC上，DE与AC相交于点

6、F，AB＝9，BD＝3，则CF等于________．16．如图，在△ABC中，AB＝AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD＝∠B.(1)求证：AC·CD＝CP·BP；(2)若AB＝10，BC＝12，当PD∥AB时，求BP的长．【方法12】模型构建专题：相似三角形中的基本模型1.　2.253．1　解析：∵AB＝BC＝CD＝AD＝1，BC∥AD，∴＝，即＝，∴＋＝＋＝＝1.4．解：成立．证明如下：∵AB∥EF∥CD，∴△DEF∽△DAB，△BEF∽△BCD，∴＝，＝，两式相加，得＋＝＋＝1，等式两边同时除以EF，得＋＝.5．A　6.D7．(1)解：∵AD∥BC，∴△D

7、EF∽△CBF，∴＝＝，∴FC＝3FD＝6，∴DC＝FC－FD＝4；(2)证明：∵AD∥BC，∴△DEF∽△CBF，△AEG∽△CBG，∴＝，＝.∵点E是边AD的中点，∴AE＝DE，∴＝，∴EF·GB＝BF·GE.8．D9．∠BAC＝∠BDA(答案不唯一)10.　11.A　12.213.　解析：根据“垂线段最短”，得PM的最小值就是当PM⊥AB时PM的长．∵直线y＝x－3与x轴、y轴分别交于点A、B，∴令x＝0，得y＝－3，∴点B的坐标为(0，－3)，即OB＝3.令y＝0，得x＝4，∴点A的坐标为(4，