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1、第五章二次型1．用非退化线性替换化下列二次型为标准形，并利用矩阵验算所得结果。1）−4xx+2xx+2xx；1213232222）x+2xx+2x+4xx+4x；1122233223）x−3x−2xx+2xx−6xx；121213234）8xx+2xx+2xx+8xx；143423245）xx+xx+xx+xx+xx+xx；1213142324342226）x+2x+x+4xx+4xx+2xx+2xx+2xx+2xx；12412131423243422227）x+x+x+x+2xx+2xx+2xx。123412233
2、4解1）已知f()x,x,x=−4xx+2xx+2xx，123121323先作非退化线性替换⎧x1=y1+y2⎪⎨x2=y1−y2（1）⎪x=y⎩33则22f()x,x,x=−4y+4y+4yy12312132222=−4y+4yy−y+y+4y113332322=−()2y−y+y+4y，1332再作非退化线性替换⎧11y=z+z⎪11322⎪⎨y2=z2（2）⎪y=z⎪33⎩则原二次型的标准形为222f()x,x,x=−z+4z+z，123123最后将（2）代入（1），可得非退化线性替换为⎧11x=z+z+z⎪1
3、12322⎪⎪11⎨x2=z1−z2+z3（3）⎪22⎪x3=z3⎪⎩于是相应的替换矩阵为⎛11⎞⎛11⎞⎜0⎟⎛110⎞⎜0⎟⎜22⎟⎜⎟⎜22⎟⎜11⎟T=⎜1−10⎟⎜010⎟=−1，⎜22⎟⎜⎝001⎟⎠⎜001⎟⎜001⎟⎜⎟⎝⎠⎜⎟⎝⎠且有⎛−100⎞⎜⎟T′AT=⎜040⎟。⎜⎟⎝001⎠2222）已知f()x,x,x=x+2xx+2x+4xx+4x，1231122233由配方法可得2222f()x,x,x=(x+2xx+x)+(x+4xx+4x)1231122223322=()x+x+(x+2x)，1
4、223于是可令⎧y1=x1+x2⎪⎨y2=x2+2x3，⎪y=x⎩33则原二次型的标准形为22f()x,x,x=y+y，12312且非退化线性替换为⎧x1=y1−y2+2y3⎪⎨x2=y2−2y3，⎪x=y⎩33相应的替换矩阵为⎛1−12⎞⎜⎟T=⎜01−2⎟，⎜⎟⎝001⎠且有⎛100⎞⎛110⎞⎛1−12⎞⎛100⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟T′AT=⎜−110⎟⎜122⎟⎜01−2⎟=⎜010⎟。⎜⎝2−21⎟⎠⎜⎝024⎟⎠⎜⎝001⎟⎠⎜⎝000⎟⎠22（3）已知f()x,x,x=x−3x−2xx+2xx−6xx，1
5、2312121323由配方法可得22222f()x,x,x=(x−2xx+2xx−2xx+x+x)−(4x+4xx+x)123112132323223322=()x−x−x−(2x+x)，12323于是可令⎧y1=x1−x2+x3⎪⎨y2=2x2+x3，⎪y=x⎩33则原二次型的标准形为22f()x,x,x=y−y，12312且非退化线性替换为⎧13x=y+y−y⎪112322⎪⎪11⎨x2=y2−y3，⎪22⎪x3=y3⎪⎩相应的替换矩阵为⎛13⎞⎜1−⎟⎜22⎟⎜11⎟T=0−，⎜22⎟⎜001⎟⎜⎟⎝⎠且有⎛⎞
6、⎛13⎞⎜⎟⎜1−⎟⎜100⎟⎛1−11⎞⎜22⎟⎛100⎞⎜11⎟⎜⎟⎜11⎟⎜⎟T′AT=0⎜−1−3−3⎟0−=⎜0−10⎟。⎜22⎟⎜⎟⎜22⎟⎜⎟⎜31⎟⎝1−30⎠⎜001⎟⎝000⎠⎜−−1⎟⎜⎟⎝22⎠⎝⎠（4）已知f()x,x,x,x=8xx+2xx+2xx+8xx，123412342324先作非退化线性替换⎧x1=y1+y4⎪⎪x2=y2⎨，x=y⎪33⎪x=y⎩44则2f()x,x,x,x=8yy+8y+2yy+2yy+8yy12341443423242⎡2⎛111⎞⎛111⎞⎤=8⎢y4+2y
7、4⎜y1+y2+y3⎟+⎜y1+y2+y3⎟⎥⎢⎣⎝228⎠⎝228⎠⎥⎦2⎛111⎞−8⎜y1+y2+y3⎟+2y2y3⎝228⎠22⎛111⎞⎛1⎞=8⎜y1+y2+y3+y4⎟−2⎜y1+y2+y3⎟+2y2y3，⎝228⎠⎝4⎠再作非退化线性替换⎧y1=z1⎪⎪y2=z2+z3⎨，y=z−z⎪323⎪y=z⎩44则22⎛153⎞⎛53⎞f()x1,x2,x3,x4=8⎜z1+z2+z3+z4⎟−2⎜z1+z2+z3⎟⎝288⎠⎝44⎠22+2z−2z，23再令⎧53w=z+x+x⎪112344⎪⎪w2=z2⎨
8、，w=z⎪33⎪153⎪w4=z1+z2+z3+z4⎩288则原二次型的标准形为2222f()x,x,x,x=−2w+2w−2w+8w，12341234且非退化线性替换为⎧153x=w−w−w+w⎪11234244⎪⎪x2=w2+w3⎨，x=w−w⎪323⎪1⎪x4=−w1+w4⎩2相应的替换矩阵为⎛153⎞⎜−−1⎟⎜244⎟⎜0110⎟T=
