matlab解方程与函数极值b.ppt

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第3章 MATLAB数据分析与多项式计算3.1 数据统计处理3.2 数据插值3.3 曲线拟合3.4 离散傅立叶变换3.5 多项式计算3.1 数据统计处理3.1.1 最大值和最小值MATLAB提供的求数据序列的最大值和最小值的函数分别为max和min,两个函数的调用格式和操作过程类似。1.求向量的最大值和最小值求一个向量X的最大值的函数有两种调用格式,分别是:(1) y=max(X):返回向量X的最大值存入y,如果X中包含复数元素,则按模取最大值。(2) [y,I]=max(X):返回向量X的最大值存入y,最大值的序号存入I,如果X中包含复数元素,则按模取最大值。求向量X的最小值的函数是min(X),用法和max(X)完全相同。例3-1 求向量x的最大值。命令如下:x=[-43,72,9,16,23,47];y=max(x) %求向量x中的最大值[y,l]=max(x) %求向量x中的最大值及其该元素的位置2.求矩阵的最大值和最小值求矩阵A的最大值的函数有3种调用格式,分别是:(1) max(A):返回一个行向量,向量的第i个元素是矩阵A的第i列上的最大值。(2) [Y,U]=max(A):返回行向量Y和U,Y向量记录A的每列的最大值,U向量记录每列最大值的行号。(3) max(A,[],dim):dim取1或2。dim取1时,该函数和max(A)完全相同;dim取2时,该函数返回一个列向量,其第i个元素是A矩阵的第i行上的最大值。求最小值的函数是min,其用法和max完全相同。例3-2 分别求3×4矩阵x中各列和各行元素中的最大值,并求整个矩阵的最大值和最小值。3.两个向量或矩阵对应元素的比较函数max和min还能对两个同型的向量或矩阵进行比较,调用格式为:(1) U=max(A,B):A,B是两个同型的向量或矩阵,结果U是与A,B同型的向量或矩阵,U的每个元素等于A,B对应元素的较大者。(2) U=max(A,n):n是一个标量,结果U是与A同型的向量或矩阵,U的每个元素等于A对应元素和n中的较大者。min函数的用法和max完全相同。例3-3 求两个2×3矩阵x, y所有同一位置上的较大元素构成的新矩阵p。3.1.2 求和与求积数据序列求和与求积的函数是sum和prod,其使用方法类似。设X是一个向量,A是一个矩阵,函数的调用格式为:sum(X):返回向量X各元素的和。prod(X):返回向量X各元素的乘积。sum(A):返回一个行向量,其第i个元素是A的第i列的元素和。prod(A):返回一个行向量,其第i个元素是A的第i列的元素乘积。sum(A,dim):当dim为1时,该函数等同于sum(A);当dim为2时,返回一个列向量,其第i个元素是A的第i行的各元素之和。prod(A,dim):当dim为1时,该函数等同于prod(A);当dim为2时,返回一个列向量,其第i个元素是A的第i行的各元素乘积。例3-4 求矩阵A的每行元素的乘积和全部元素的乘积。3.1.3 平均值和中值求数据序列平均值的函数是mean,求数据序列中值的函数是median。两个函数的调用格式为:mean(X):返回向量X的算术平均值。median(X):返回向量X的中值。mean(A):返回一个行向量,其第i个元素是A的第i列的算术平均值。median(A):返回一个行向量,其第i个元素是A的第i列的中值。mean(A,dim):当dim为1时,该函数等同于mean(A);当dim为2时,返回一个列向量,其第i个元素是A的第i行的算术平均值。median(A,dim):当dim为1时,该函数等同于median(A);当dim为2时,返回一个列向量,其第i个元素是A的第i行的中值。例3-5 分别求向量x与y的平均值和中值。3.1.4 累加和与累乘积在MATLAB中,使用cumsum和cumprod函数能方便地求得向量和矩阵元素的累加和与累乘积向量,函数的调用格式为:cumsum(X):返回向量X累加和向量。cumprod(X):返回向量X累乘积向量。cumsum(A):返回一个矩阵,其第i列是A的第i列的累加和向量。cumprod(A):返回一个矩阵,其第i列是A的第i列的累乘积向量。cumsum(A,dim):当dim为1时,该函数等同于cumsum(A);当dim为2时,返回一个矩阵,其第i行是A的第i行的累加和向量。cumprod(A,dim):当dim为1时,该函数等同于cumprod(A);当dim为2时,返回一个向量,其第i行是A的第i行的累乘积向量。3.1.5 标准方差与相关系数1.求标准方差在MATLAB中,提供了计算数据序列的标准方差的函数std。对于向量X,std(X)返回一个标准方差。对于矩阵A,std(A)返回一个行向量,它的各个元素便是矩阵A各列或各行的标准方差。std函数的一般调用格式为:Y=std(A,flag,dim)其中dim取1或2。当dim=1时,求各列元素的标准方差;当dim=2时,则求各行元素的标准方差。flag取0或1,当flag=0时,按σ1所列公式计算标准方差,当flag=1时,按σ2所列公式计算标准方差。缺省flag=0,dim=1。例3-7 对二维矩阵x,从不同维方向求出其标准方差。2.相关系数MATLAB提供了corrcoef函数,可以求出数据的相关系数矩阵。corrcoef函数的调用格式为:corrcoef(X):返回从矩阵X形成的一个相关系数矩阵。此相关系数矩阵的大小与矩阵X一样。它把矩阵X的每列作为一个变量,然后求它们的相关系数。corrcoef(X,Y):在这里,X,Y是向量,它们与corrcoef([X,Y])的作用一样。例3-8 生成满足正态分布的10000×5随机矩阵,然后求各列元素的均值和标准方差,再求这5列随机数据的相关系数矩阵。命令如下:X=randn(10000,5);M=mean(X)D=std(X)R=corrcoef(X)3.1.6 排序MATLAB中对向量X是排序函数是sort(X),函数返回一个对X中的元素按升序排列的新向量。sort函数也可以对矩阵A的各列或各行重新排序,其调用格式为:[Y,I]=sort(A,dim)其中dim指明对A的列还是行进行排序。若dim=1,则按列排;若dim=2,则按行排。Y是排序后的矩阵,而I记录Y中的元素在A中位置。例3-9 对二维矩阵做各种排序。3.2 数据插值3.2.1 一维数据插值在MATLAB中,实现这些插值的函数是interp1,其调用格式为:Y1=interp1(X,Y,X1,'method')函数根据X,Y的值,计算函数在X1处的值。X,Y是两个等长的已知向量,分别描述采样点和样本值,X1是一个向量或标量,描述欲插值的点,Y1是一个与X1等长的插值结果。method是插值方法,允许的取值有‘linear’、‘nearest’、‘cubic’、‘spline’。省略部分。auss-Serdel迭代法在Jacobi迭代过程中,计算时,已经得到,不必再用,即原来的迭代公式Dx(k+1)=(L+U)x(k)+b可以改进为Dx(k+1)=Lx(k+1)+Ux(k)+b,于是得到:x(k+1)=(D-L)-1Ux(k)+(D-L)-1b该式即为Gauss-Serdel迭代公式。和Jacobi迭代相比,Gauss-Serdel迭代用新分量代替旧分量,精度会高些。Gauss-Serdel迭代法的MATLAB函数文件gauseidel.m如下:function [y,n]=gauseidel(A,b,x0,eps)if nargin==3 eps=1.0e-6;elseif nargin=eps x0=y; y=G*x0+f; n=n+1;end例3-6 用Gauss-Serdel迭代法求解下列线性方程组。设迭代初值为0,迭代精度为10-6。在命令中调用函数文件gauseidel.m,命令如下:A=[10,-1,0;-1,10,-2;0,-2,10];b=[9,3,6]';[x,n]=gauseidel(A,b,[0,0,0]',1.0e-6)例3-7 分别用Jacobi迭代和Gauss-Serdel迭代法求解下列线性方程组,看是否收敛。命令如下:a=[1,2,-2;1,1,1;2,2,1];b=[9;3;6];[x,n]=jacobi(a,b,[0;0;0])[x,n]=gauseidel(a,b,[0;0;0])3.2 非线性方程数值求解3.2.1 单变量非线性方程求解 在MATLAB中提供了一个fzero函数,可以用来求单变量非线性方程的根。该函数的调用格式为: z=fzero('fname',x0,tol,trace)其中fname是待求根的函数文件名,x0为搜索的起点。一个函数可能有多个根,但fzero函数只给出离x0最近的那个根。tol控制结果的相对精度,缺省时取tol=eps,trace指定迭代信息是否在运算中显示,为1时显示,为0时不显示,缺省时取trace=0。 例3-8 求f(x)=x-10x+2=0在x0=0.5附近的根。 步骤如下:(1) 建立函数文件funx.m。 function fx=funx(x) fx=x-10.^x+2; (2) 调用fzero函数求根。 z=fzero('funx',0.5) z = 0.33583.2.2 非线性方程组的求解 对于非线性方程组F(X)=0,用fsolve函数求其数值解。fsolve函数的调用格式为: X=fsolve('fun',X0,option)其中X为返回的解,fun是用于定义需求解的非线性方程组的函数文件名,X0是求根过程的初值,option为最优化工具箱的选项设定。最优化工具箱提供了20多个选项,用户可以使用optimset命令将它们显示出来。如果想改变其中某个选项,则可以调用optimset()函数来完成。例如,Display选项决定函数调用时中间结果的显示方式,其中‘off’为不显示,‘iter’表示每步都显示,‘final’只显示最终结果。optimset(‘Display’,‘off’)将设定Display选项为‘off’。 例3-9 求下列非线性方程组在(0.5,0.5) 附近的数值解。 (1) 建立函数文件myfun.m。function q=myfun(p)x=p(1);y=p(2);q(1)=x-0.6*sin(x)-0.3*cos(y);q(2)=y-0.6*cos(x)+0.3*sin(y); (2) 在给定的初值x0=0.5,y0=0.5下,调用fsolve函数求方程的根。x=fsolve('myfun',[0.5,0.5]',optimset('Display','off'))x = 0.6354 0.3334将求得的解代回原方程,可以检验结果是否正确,命令如下:q=myfun(x)q = 1.0e-009 * 0.2335 0.2953 可见得到了较高精度的结果。3.3 常微分方程初值问题的数值解法3.3.1 龙格-库塔法简介3.3.2 龙格-库塔法的实现 基于龙格-库塔法,MATLAB提供了求常微分方程数值解的函数,一般调用格式为: [t,y]=ode23('fname',tspan,y0) [t,y]=ode45('fname',tspan,y0)其中fname是定义f(t,y)的函数文件名,该函数文件必须返回一个列向量。tspan形式为[t0,tf],表示求解区间。y0是初始状态列向量。t和y分别给出时间向量和相应的状态向量。例3-10 设有初值问题,试求其数值解,并与精确解相比较(精确解为y(t)=)。 (1) 建立函数文件funt.m。function yp=funt(t,y)yp=(y^2-t-2)/4/(t+1);(2) 求解微分方程。t0=0;tf=10;y0=2;[t,y]=ode23('funt',[t0,tf],y0); %求数值解y1=sqrt(t+1)+1; %求精确解t'y'y1' y为数值解,y1为精确值,显然两者近似。 3.4 函数极值 MATLAB提供了基于单纯形算法求解函数极值的函数fmin和fmins,它们分别用于单变量函数和多变量函数的最小值,其调用格式为: x=fmin('fname',x1,x2) x=fmins('fname',x0)这两个函数的调用格式相似。其中fmin函数用于求单变量函数的最小值点。fname是被最小化的目标函数名,x1和x2限定自变量的取值范围。fmins函数用于求多变量函数的最小值点,x0是求解的初始值向量。MATLAB没有专门提供求函数最大值的函数,但只要注意到-f(x)在区间(a,b)上的最小值就是f(x)在(a,b)的最大值,所以fmin(f,x1,x2)返回函数f(x)在区间(x1,x2)上的最大值。 例3-13 求f(x)=x3-2x-5在[0,5]内的最小值点。 (1) 建立函数文件mymin.m。function fx=mymin(x)fx=x.^3-2*x-5; (2) 调用fmin函数求最小值点。x=fmin('mymin',0,5)x= 0.8165
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