2018-2019高中数学第3章导数及其应用习题课导数的应用学案苏教版选修1-1.docx

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1、习题课 导数的应用学习目标 1.能利用导数研究函数的单调性.2.理解函数的极值、最值与导数的关系.3.掌握函数的单调性、极值与最值的综合应用.知识点一 函数的单调性与其导数的关系定义在区间(a,b)内的函数y=f(x)f′(x)的正负f(x)的单调性f′(x)>0单调递增f′(x)<0单调递减知识点二 求函数y=f(x)的极值的方法解方程f′(x)=0,当f′(x0)=0时,(1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,那么f(x0)是极大值.(2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0,右

2、侧f′(x)>0,那么f(x0)是极小值.知识点三 函数y=f(x)在[a,b]上最大值与最小值的求法1.求函数y=f(x)在(a,b)内的极值.2.将函数y=f(x)的极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.1.函数y=xlnx在上是减函数.( √ )2.若函数y=ax-lnx在内单调递增,则a的取值范围为(2,+∞).( × )3.设函数f(x)=x·(x-c)2在x=2处有极大值,则c=2.( × )4.函数f(x)=x(1-x2)在[0,1]上的最

3、大值为.( √ )类型一 导数与函数单调性例1 已知函数f(x)=lnx,g(x)=f(x)+ax2+bx,其中g(x)的函数图象在点(1,g(1))处的切线平行于x轴.(1)确定a与b的关系;(2)若a≥0,试讨论函数g(x)的单调性.考点 利用导数研究函数的单调性、极值与最值题点 利用导数研究函数的单调性解 (1)依题意得g(x)=lnx+ax2+bx,则g′(x)=+2ax+b.由函数g(x)的图象在点(1,g(1))处的切线平行于x轴得g′(1)=1+2a+b=0,∴b=-2a-1.(2)由(1

4、)得g′(x)==.∵函数g(x)的定义域为(0,+∞),∴当a=0时,g′(x)=-.由g′(x)>0得0<x<1,由g′(x)<0得x>1,即函数g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减;当a>0时,令g′(x)=0得x=1或x=,若<1,即a>,由g′(x)>0得x>1或0<x<,由g′(x)<0得<x<1,即函数g(x)在,(1,+∞)上单调递增,在上单调递减;若>1,即0<a<,由g′(x)>0得x>或0<x<1,由g′(x)<0得1<x<,即函数g(x)在(0,1),上单调递

5、增,在上单调递减;若=1,即a=,在(0,+∞)上恒有g′(x)≥0,即函数g(x)在(0,+∞)上单调递增.综上可得,当a=0时,函数g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减;当0

6、(x)=(a-1)lnx+ax2+1的单调性.考点 利用导数研究函数的单调性、极值与最值题点 利用导数研究函数的单调性解 f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=+2ax=.①当a≥1时,f′(x)>0,故f(x)在(0,+∞)上单调递增;②当a≤0时,f′(x)<0,故f(x)在(0,+∞)上单调递减;③当00,故f(x)在上单调递减,在上单调递增.综上所述,当a≥1时,f(x)在(0,+∞)上单调递增;当a

7、≤0时,f(x)在(0,+∞)上单调递减;当0

8、,上为增函数,在上为减函数.综上可知,当a≤0时,f(x)在R上为增函数;当a>0时,f(x)在,上为增函数,在上为减函数.(2)因为f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,所以f′(x)=3x2-a≥0在(-∞,+∞)上恒成立,即a≤3x2对x∈R恒成立.因为3x2≥0,所以只需a≤0.又因为a=0时,f′(x)=3x2≥0,f(x)=x3-1在R上是增函数,所以a≤0,即a的取值范围为(-∞,0].引申探究1.函数f(x)不变,若f(x)在

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