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1、位姿描述和齐次变换一、位置和姿态的表示二、坐标变换三、齐次坐标变换四、物体的变换及逆变换一、位置和姿态的表示1.位置描述在直角坐标系A中，空间任意一点p的位置(Position)可用3x1列向量(位置矢量)表示：位置表示一、位置和姿态的表示2.方位描述空间物体B的方位(Orientation)可由某个固接于此物体的坐标系{B}的三个单位主矢量[xB,yB,zB]相对于参考坐标系A的方向余弦组成的3x3矩阵描述上述矩阵称为旋转矩阵一、位置和姿态的表示（1）旋转矩阵的特点由于旋转矩阵中每一列为单位向量，所以有由于旋转矩阵中三列向量两两相互垂直，所以有因此旋转矩阵是单位正交矩阵，具
2、有如下特性：7/29/2021机器人位姿的表示姿态可以用坐标系三个坐标轴两两夹角的余弦值组成3×3的姿态矩阵来描述。ｐ(ｘ,ｙ,ｚ)ｚｙｘｏｚBｙBｘBｏB一、位置和姿态的表示（2）三个典型旋转矩阵xAxByAyBzzAzByAyBxAxBzAzBxy一、位置和姿态的表示(3)旋转矩阵的几何意义：可以表示固定于刚体上的坐标系{B}对参考坐标系的姿态矩阵。可作为坐标变换矩阵，它使得坐标系{B}中的点的坐标变换成{A}中点的坐标。可作为算子，将{B}中的矢量或物体变换到{A}中。一、位置和姿态的表示3.位姿描述刚体位姿(即位置和姿态),用刚体的方位参考坐标的原点位置矢量和旋转矩阵
3、表示，即表示位置时，表示姿态时，一、位置和姿态的表示4.机器人手爪坐标系n:法向矢量(normal)o:方向矢量(orientation)a:接近矢量(approach)P:位置矢量(position)二、坐标变换1.坐标平移坐标系{A}和{B}具有相同的方位,但原点不重合.则点P在两个坐标系中的位置矢量满足下式:二、坐标变换2.坐标旋转坐标系{A}和{B}有相同的原点但方位不同,则点P的在两个坐标系中的位置矢量有如下关系：二、坐标变换3.复合变换yAzAxAOAyCzCxCOByBzBxBPAPAPBOBP坐标系A和C之间是平移变换关系坐标系B和C之间是旋转变换关系坐标系B
4、和C的原点重合坐标系A和C的方位一样二、坐标变换例1已知坐标系{B}的初始位姿与{A}重合，首先{B}相对于{A}的ZA轴转30°，再沿{A}的XA轴移动12单位，并沿{A}的YA轴移动6单位。求位置矢量APB0和旋转矩阵BAR。设点p在{B}坐标系中的位置为BP=[3,7,0]，求它在坐标系{A}中的位置。三、齐次坐标变换1.齐次变换可以改写为：P点在{A}和{B}中的位置矢量分别增广为:而齐次变换公式和变换矩阵变为:齐次坐标三、齐次坐标变换2.平移齐次坐标变换{A}分别沿{B}的X、Y、Z坐标轴平移a、b、c距离的平移齐次变换矩阵写为：用非零常数乘以变换矩阵的每个元素，不
5、改变特性。三、齐次坐标变换例2：求矢量2i+3j+2k被矢量4i-3j+7k平移得到的新矢量。三、齐次坐标变换3.旋转齐次坐标变换将上式增广为齐次式：2.5旋转变换（Rotationtransformation）如图2.4所示，绕x,y,z轴旋转一个θ角的相应变换是10000cosθ-sinθ0Rot(x,θ)=0sinθcosθ0（2.12）0001cosθ0sinθ00100Rot(y,θ)=-sinθ0cosθ0(2.13)0001cosθ-sinθ00sinθcosθ00Rot(z,θ)=0010(2.14)0001注意：θ角旋转的正方向遵循右手螺旋法则（如图2.4所
6、示）图2.4旋转变换θ0zyxθθ三、齐次坐标变换例3：U=7i+3j+2k,绕Z轴转90度后，再绕Y轴转90度。例4：在上述基础上再平移（4，-3，7）。【例2.2】点u=7i+3j+2k，它绕z轴旋转90°为v，经式（2.14）变换得到（sinθ=1，cosθ=0）0-1007-3100037v=Rot(z,90°)=00102＝2000111起始点u和终点v如图2.5所示。如将v点再绕y轴旋转90°得到w。用式（2.13）变换得到0010-32010077w=Rot(y,90°)=-10002＝3000111结果如图2.6所示。如果将上述两次旋转结合起来，写成一个表达式
7、得到w=Rot(y,90°)v＝Rot(y,90°)Rot(z,90°)u用两个变换矩阵Rot(y,90°)、Rot(z,90°)和起始点u代入上式计算的结果与前面分两次计算的结果相同。2•uzyx•v0图2.5Rot(z,90°)yuv0zx•w••图2.6Rot(y,90°)Rot(z,90°)27如对经过两次旋转变换得到的点向量w再进行一次平移（平移向量为h＝[4-371]T），则可得到如图2.8所示的点向量n。变换过程如下100426010-374n=Trans(4,－3,7)w=00173=1
