微积分x13-2二重积分的计算方法.ppt

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1、§13.2二重积分的计算方法一、利用直角坐标计算二重积分在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D，D则面积元素为已知平行截面面积的立体的体积注：二重积分转变为二次积分的推导过程借助于几何直观，略去了分析证明过程。用平面x=x0截立体，截得A(x0).应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,得注意D的特殊之处。定理13-1（基本定理）函数f(x,y)在闭矩形区域D:可积,若每一个若每一个dcab如果积分区域为：如果积分区域为：其中函数、在区间上连续.［X－型］X型区域的特点：穿过区域且平

2、行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.如果积分区域为：［Y－型］Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.若区域如图，在分割后的三个区域上分别使用积分公式则必须分割.对非X、Y型区域解积分区域如图解积分区域如图(1).计算其中D是直线y＝1,x＝2,及y＝x所围的闭区域.解法1.将D看作X–型区域,则解法2.将D看作Y–型区域,则例3计算下列二重积分解解X-型（4）.计算其中D是抛物线所围成的闭区域.解:为计算简便,先对x后对y积分,及直线则解（6）.计算其中D是直线

3、所围成的闭区域.解:由被积函数可知,因此取D为X–型域:先对x积分不行,说明:有些二次积分为了积分方便,还需交换积分顺序.解令y-x=u交换积分次序-1o1x令u=-tO1xy1例7解先去掉绝对值符号，如图o1xo1x例6证Z=f2(x,y)Z=f1(x,y)Z=0利用二重积分计算空间立体体积例1.解所求立体可以看成是一个曲顶柱体，它的曲顶为底为例2.求两个底圆半径为R的直角圆柱面所围的体积.解:设两个直圆柱方程为利用对称性,考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为则所求体积为二、利用极坐标系计算二重积分二重

4、积分化为二次积分的公式（１）区域特征如图二重积分化为二次积分的公式（２）区域特征如图极坐标系下区域的面积二重积分化为二次积分的公式（３）区域特征如图解解解解例5求由球面x2+y2+z2=4a2与柱面x2+y2=2ax所围立体的体积。解：xyoxyz解∵D=2D1例7解三、二重积分的换元法例1解例2解