高中数学第一章导数及其应用1.2导数的计算1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（二）讲义.docx

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1、1．2.2　基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)1．复合函数的概念一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f[g(x)]．在复合函数中，内层函数u＝g(x)的值域必须是外层函数y＝f(u)的定义域的子集．2．复合函数的求导法则复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数，即yx′＝yu′·ux′，并且在利用复数的求导法则求导数后，最后结果要把中间变量换成自变量的函数．复合函数，可以是一个中间变量，也可

2、以是两个或多个中间变量，应该按照复合次序从外向内逐层求导．使用复合函数求导法则的注意事项(1)分清复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成的，选择适当的中间变量．(2)分步计算的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量的导数，如(sin2x)′＝2cos2x，不能得出(sin2x)′＝cos2x.(3)根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数，如求y＝sin的导数，设y＝sinu，u＝2x＋，则yx′＝yu′·ux′＝cosu·2＝2cos.(4)熟练掌握复合函数的求导后，中间

3、步骤可省略不写．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)f′(x)＝2x，则f(x)＝x2.(　　)(2)函数f(x)＝xex的导数是f′(x)＝ex(x＋1)．(　　)(3)函数f(x)＝sin(－x)的导数为f′(x)＝cosx.(　　)答案　(1)×　(2)√　(3)×2．做一做(1)若f(x)＝2x＋3，则f′(x)＝________.(2)函数f(x)＝2sinx－cosx，则f′(x)＝________.(3)函数f(x)＝－，则f′(x)＝________.答案　(1)2　(2)2cosx＋sinx　(3)探究　　简单复合函数

4、求导问题例1　求下列函数的导数．(1)y＝(3x－2)2；(2)y＝ln(6x＋4)；(3)y＝sin(2x＋1)；(4)y＝.[解]　(1)∵y＝(3x－2)2由函数y＝u2和u＝3x－2复合而成，∴yx′＝yu′·ux′＝(u2)′·(3x－2)′＝6u＝18x－12.(2)∵y＝ln(6x＋4)由函数y＝lnu和u＝6x＋4复合而成，∴yx′＝yu′·ux′＝(lnu)′·(6x＋4)′＝＝＝.(3)函数y＝sin(2x＋1)可以看作函数y＝sinu和u＝2x＋1的复合函数，根据复合函数求导法则有yx′＝yu′·ux′＝(sinu)′·(2x＋

5、1)′＝2cosu＝2cos(2x＋1)．(4)函数y＝可以看作函数y＝和u＝3x＋5的复合函数，根据复合函数求导法则有yx′＝yu′·ux′＝()′·(3x＋5)′＝＝.拓展提升复合函数求导的步骤【跟踪训练1】　求下列函数的导数．(1)y＝；(2)y＝esinx；(3)y＝sin；(4)y＝5log2(2x＋1)．解　(1)设y＝u，u＝1－2x2，则y′＝(u)′(1－2x2)′＝·(－4x)＝(1－2x2)(－4x)＝.(2)设y＝eu，u＝sinx，则yx′＝yu′·ux′＝eu·cosx＝esinxcosx.(3)设y＝sinu，u＝2x＋

6、，则yx′＝yu′·ux′＝cosu·2＝2cos.(4)设y＝5log2u，u＝2x＋1，则y′＝5(log2u)u′(2x＋1)x′＝＝.探究　　复合函数与导数的运算法则的综合应用例2　求下列函数的导数．(1)y＝x(x＋1)(x＋2)(x＞0)；(2)y＝sin2.[解]　(1)y′＝[x(x＋1)(x＋2)]′＝x′(x＋1)(x＋2)＋x(x＋1)′(x＋2)＋x(x＋1)(x＋2)′＝(x＋1)(x＋2)＋x(x＋2)＋x(x＋1)＝3x2＋6x＋2.(2)设y＝u2，u＝sinν，ν＝2x＋，则yx′＝yu′·uν′·νx′＝2u·co

7、sν·2＝4sinνcosν＝2sin2ν＝2sin.[解法探究]　此题有没有其他解法呢？[解]　(1)因为y＝x(x＋1)(x＋2)＝(x2＋x)(x＋2)＝x3＋3x2＋2x，所以y′＝(x3＋3x2＋2x)′＝3x2＋6x＋2.(2)y′＝′＝2sin·sin2x＋′＝2sin·cos·′＝2sin.拓展提升求复合函数的导数需处理好的几个环节(1)求导之前应先将函数化简，然后再求导，以减少运算量；(2)中间变量的选择应是基本函数结构；(3)关键是正确分析函数的复合层次；(4)一般是从最外围开始，由外及里，一层层地求导；(5)善于把一部分表达式作

8、为一个整体；(6)最后要把中间变量换成自变量的函数．【跟踪训练2】　求下列函数的导数．(1)y＝x；(2)y