高中数学第一章导数及其应用1.3导数在研究函数中的应用1.3.3函数的最大（小）值与导数讲义新人教A版.docx

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1、1.3.3　函数的最大(小)值与导数1．函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a，b]上一定能够取得最大值和最小值，并且函数的最值必在极值点或区间端点取得．2．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最值的步骤(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．函数f(x)在区间(a，b)上的最值在区间(a，b)上函数f(x)的图象是一条连续的曲线时，f(x)在(a，b

2、)内不一定有最值．常见的有以下几种情况：如图，图①中的函数y＝f(x)在(a，b)上有最大值而无最小值；图②中的函数y＝f(x)在(a，b)上有最小值而无最大值；图③中的函数y＝f(x)在(a，b)上既无最大值也无最小值；图④中的函数y＝f(x)在(a，b)上既有最大值又有最小值．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的最大值一定是函数的极大值．(　　)(2)开区间上的单调连续函数无最值．(　　)(3)函数f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值一定在两个端点处取得．(　　)答案　(1)×　(2)√　(3)×2．做一做(1)设函数

3、f(x)＝e2x＋3x(x∈R)，则f(x)________(填“有”或“无”)最值．(2)已知函数y＝x3－x2－x，该函数在区间[0,3]上的最大值是________．(3)已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋m(x∈[－2,2])，f(x)的最小值为1，则m＝________.答案　(1)无　(2)15　(3)1探究　　求已知函数的最值例1　已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a)．(1)若f′(1)＝3，求a的值及曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)求f(x)在区间[0,2]上的最大值．[解]　(1)f′(x)＝3x2－

4、2ax.因为f′(1)＝3－2a＝3，所以a＝0.又当a＝0时，f(1)＝1，f′(1)＝3.所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为3x－y－2＝0.(2)令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝.当≤0，即a≤0时，f(x)在[0,2]上单调递增，从而f(x)max＝f(2)＝8－4A．当≥2，即a≥3时，f(x)在[0,2]上单调递减，从而f(x)max＝f(0)＝0.当0<<2，即0

5、0]，结果如何？[解]　令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝a．当a≥0，即a≥0时，f(x)在[－1,0]上单调递增，从而f(x)max＝f(0)＝0；当a≤－1，即a≤－时，f(x)在[－1,0]上单调递减，从而f(x)max＝f(－1)＝－1－a；当－1

6、则可以断定f(x)在该点处取到最大(或最小)值，这里(a，b)也可以是无穷区间．【跟踪训练1】　(1)求函数f(x)＝x3－x2－2x＋5在区间[－2,2]上的最大值与最小值；(2)求函数f(x)＝x＋sinx在区间[0,2π]上的最大值与最小值．解　(1)因为f(x)＝x3－x2－2x＋5，所以f′(x)＝3x2－x－2.令f′(x)＝0，得x1＝－，x2＝1.因为f＝，f(1)＝，又f(－2)＝－1，f(2)＝7，所以函数f(x)在[－2,2]上的最大值是7，最小值是－1.(2)f′(x)＝＋cosx，令f′(x)＝0，解得x＝或x＝.因为f(

7、0)＝0，f＝＋，f＝－，f(2π)＝π，所以函数f(x)在[0,2π]上的最大值是π，最小值是0.探究　　由函数的最值确定参数的值例2　已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值．[解]　由题设知a≠0，否则f(x)＝b为常函数，与题设矛盾．f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去)．(1)当a>0，且x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x－1(－1,0)0(0,2)2f′(x)＋0－f(x)－7a＋bb－16a＋b由表可

8、知，当x＝0时，f(x)取得极大值，也就是函数在[－1,2]上的最大值，∴f(0)＝3，即b＝3.又f(－1)＝－7a＋3