高中数学第一章立体几何初步6.1垂直关系的判定第一课时直线与平面垂直的判定学案北师大版.docx

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1、第一课时　直线与平面垂直的判定[学习目标]　1.理解直线与平面垂直的定义．　2.掌握直线与平面垂直的判定定理．　3.会利用判定定理证明或判断有关垂直的问题.【主干自填】1．直线与平面垂直的定义如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直．2．直线与平面垂直的判定定理【即时小测】1．思考下列问题(1)旗杆AB与地面内任意一条不过旗杆底部B的直线B1C1的位置关系是什么？提示：异面垂直．(2)如果平面外一条直线l与平面α的两条相交直线垂直，那么l与α的位置关系是什么？提示：垂直．2．下列说法中正确的是(　　)A．如果直线l与平面α内的

2、无数条直线垂直，则l⊥αB．如果直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥αC．如果直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线D．如果直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直提示：D　如图所示，直线l与α内的无数条直线垂直．但l与α斜交，故A不正确；同理B也不正确；同样由图，l不垂直于α，但α内有与l垂直的直线，且这样的直线有无数条，故C不正确，D正确．3．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法中正确的是(　　)A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若m∥α，α⊥β，

3、则m⊥β提示：C　选项A中的m，n可以相交，可以平行，也可以异面，故A错误；选项B中的α与β可以平行，也可以相交，故B错误；选项C是直线与平面垂直的重要结论，故C正确；选项D中的m与β的位置关系可以是平行、相交、m在β内，故D错误．4．如果一条直线垂直于①三角形的两边，②梯形的两边，③圆的两条直径，④正六边形的两条边，则能保证该直线与平面图形所在平面垂直的是(　　)A．①③B．②C．②④D．①②④提示：A　由直线与平面垂直的判定定理可知，①③能保证该直线与平面垂直，②④不能．因为梯形和正六边形中有平行的两条边．例1　如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长

4、为1.求证：(1)AC⊥平面B1D1DB；(2)BD1⊥平面ACB1.[证明]　(1)∵BB1⊥平面ABCD，且AC平面ABCD，∴BB1⊥AC.又AC⊥BD，BD∩BB1＝B，∴AC⊥平面B1D1DB.(2)连接A1B.由(1)知AC⊥平面B1D1DB，∵BD1平面B1D1DB，∴AC⊥BD1.∵A1D1⊥平面A1B1BA，AB1平面A1B1BA，∴A1D1⊥AB1.又∵A1B⊥AB1且A1B∩A1D1＝A1，∴AB1⊥平面A1D1B.∵BD1平面A1D1B，∴BD1⊥AB1，又∵AC∩AB1＝A，∴BD1⊥平面ACB1.类题通法线面垂直的判定定理实

5、质是由线线垂直推证线面垂直，途径是找到一条直线与平面内的两条相交直线垂直.推证线线垂直时注意分析几何图形，寻找隐含条件.　如图，Rt△ABC所在平面外一点S，且SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点．(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.证明　(1)∵SA＝SC，D为AC的中点，∴SD⊥AC.在Rt△ABC中，有AD＝DC＝BD.又SA＝SB，∴△ADS≌△BDS.∴SD⊥BD.又AC∩BD＝D，∴SD⊥平面ABC.(2)∵BA＝BC，D为AC的中点，∴BD⊥AC.又由(1)知SD⊥平面ABC，∵BD平面ABC，∴SD⊥B

6、D.∵AC∩SD＝D.∴BD⊥平面SAC.例2　如图，已知四棱锥S－ABCD中ABCD为矩形，SA⊥平面ABCD，AE⊥SB于点E，EF⊥SC于点F.(1)求证：AF⊥SC；(2)若平面AEF交SD于点G，求证：AG⊥SD.[证明]　(1)∵SA⊥平面ABCD，BC平面ABCD，∴SA⊥BC.∵四边形ABCD为矩形，∴AB⊥BC.又∵SA∩AB＝A，∴BC⊥平面SAB.∴BC⊥AE.又SB⊥AE，BC∩SB＝B，∴AE⊥平面SBC.又∵SC平面SBC，∴AE⊥SC.又EF⊥SC，EF∩AE＝E，∴SC⊥平面AEF.∵AF平面AEF，∴AF⊥SC.(2)∵

7、SA⊥平面ABCD，∴SA⊥DC.又AD⊥DC，AD∩SA＝A，∴DC⊥平面SAD.又AG平面SAD，∴DC⊥AG.又由(1)有SC⊥平面AEF，AG平面AEF，∴SC⊥AG.又SC∩DC＝C，∴AG⊥平面SDC.∵SD平面SDC，∴AG⊥SD.类题通法线线垂直的证明方法(1)由线面垂直的定义，即l⊥α，aα⇒l⊥a.(2)平面几何中的结论，如等腰三角形的底面的中线垂直于底边、菱形的对角线互相垂直、勾股定理等．　如图，在空间四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，求证：AC⊥BD.证明　取BD中点为E，连接AE，CE.∵AB＝AD，∴AE⊥BD.又∵

8、CB＝CD，∴CE⊥BD.而AE∩CE