高中数学直线与平面垂直（第2课时）直线与平面所成的角、直线与平面垂直的性质定理应用案巩固提升新人教A版.docx

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1、第2课时直线与平面所成的角、直线与平面垂直的性质定理[A　基础达标]1．下列说法中正确的是(　　)①过平面外一点有且只有一条直线和已知平面垂直；②过直线外一点有且只有一个平面和已知直线垂直；③过平面外一点可作无数条直线与已知平面平行；④过直线外一点只可作一条直线与已知直线垂直．A．①②③　　　　　　　　B．①③④C．②③D．②③④解析：选A.由线面垂直的性质及线面平行的性质知①②③正确；④错，过直线外一点作平面与直线垂直，则平面内过这一点的所有直线都与该直线垂直．2．在正方体ABCDA1B1C1D1中，点P是线段BC1上任意一点，则下列结论中正确的是(　　)A．AD1⊥

2、DPB．AP⊥B1CC．AC1⊥DPD．A1P⊥B1C解析：选B.在正方体ABCDA1B1C1D1中，因为B1C⊥BC1，B1C⊥AB，BC1∩AB＝B，所以B1C⊥平面ABC1D1，因为点P是线段BC1上任意一点，所以AP⊥B1C.故选B.3．下列命题正确的是(　　)①⇒b⊥α；　　　②⇒a∥b；③⇒b∥α；　　　④⇒b⊥α.A．①②B．①②③C．②③④D．①④解析：选A.对于命题①，a⊥α，则a垂直于平面α内的任意两条相交直线，又因为a∥b，所以b也垂直于平面α内的任意两条相交直线，所以b⊥α，①正确；由线面垂直的性质定理可知a∥b，所以②正确；因为a⊥α，当a⊥b

3、时，则b可能在平面α内，也可能与平面α平行，所以③错误；当a∥α，a⊥b时，b与平面α的三种位置都有可能出现，所以④错误．4.如图，设平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分别为G，H.为使PQ⊥GH，则需增加的一个条件是(　　)A．EF⊥平面αB．EF⊥平面βC．PQ⊥GED．PQ⊥FH解析：选B.因为EG⊥平面α，PQ⊂平面α，所以EG⊥PQ.若EF⊥平面β，则由PQ⊂平面β，得EF⊥PQ.又EG与EF为相交直线，所以PQ⊥平面EFHG，所以PQ⊥GH，故选B.5．已知点P是△ABC所在平面外一点，且PA＝PB＝PC，则点P在平面ABC上的射影一定是

4、△ABC的(　　)A．内心B．外心C．垂心D．重心解析：选B.如图所示，设点P在平面ABC上的射影为O，连接OA，OB，OC.所以PO⊥平面ABC.因为PA＝PB＝PC，且∠POA＝∠POB＝∠POC＝90°，所以△PAO≌△PBO≌△PCO，所以AO＝BO＝CO.即点O到三角形三个顶点的距离相等，所以点O为△ABC的外心．6．等腰直角三角形ABC的斜边AB在平面α内，若AC与α所成的角为30°，则斜边上的中线CM与α所成的角为________．解析：如图，设C在平面α内的射影为点O，连接AO，MO，则∠CAO＝30°，∠CMO就是CM与α所成的角．设AC＝BC＝1，则

5、AB＝，所以CM＝，CO＝，所以sin∠CMO＝＝，所以∠CMO＝45°.答案：45°7．如图所示，PO⊥平面ABC，BO⊥AC，在图中与AC垂直的直线有______条．解析：因为PO⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，所以PO⊥AC.又AC⊥BO，PO∩BO＝O，所以AC⊥平面PBD，所以PBD内的4条直线PB，PD，PO，BD都与AC垂直，所以图中共有4条直线与AC垂直．答案：48．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面ABC，PA＝8，则点P到BC的距离是________．解析：如图所示，作PD⊥BC于点D，连接AD.因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC.

6、又PD∩PA＝P，所以CB⊥平面PAD，所以AD⊥BC.在△ACD中，AC＝5，CD＝3，所以AD＝4.在Rt△PAD中，PA＝8，AD＝4，所以PD＝＝4.答案：49．如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1.(1)求证：AB1⊥平面A1BC1；(2)若D为B1C1的中点，求AD与平面A1B1C1所成角的正弦值．解：(1)证明：由题意知四边形AA1B1B是正方形，所以AB1⊥BA1.由AA1⊥平面A1B1C1得AA1⊥A1C1.又因为A1C1⊥A1B1，AA1∩A1B1＝A1，所以A1C1⊥平面AA1B1B，又因为AB1⊂平面AA1B

7、1B，所以A1C1⊥AB1，又因为BA1∩A1C1＝A1，所以AB1⊥平面A1BC1.(2)连接A1D.设AB＝AC＝AA1＝1，因为AA1⊥平面A1B1C1，所以∠A1DA是AD与平面A1B1C1所成的角．在等腰直角三角形A1B1C1中，D为斜边的中点，所以A1D＝B1C1＝.在Rt△A1DA中，AD＝＝.所以sin∠A1DA＝＝，即AD与平面A1B1C1所成角的正弦值为.10.如图，已知四棱锥SABCD中ABCD为矩形，SA⊥平面AC，AE⊥SB于点E，EF⊥SC于点F.(1)求证：AF⊥SC；(2)若平面AEF交SD于点G，求证：A