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1、§3格林公式·曲线积分与路线的无关性在计算定积分时,牛顿-莱布尼茨公式反映了区间上的定积分与其端点上的原函数值之间的联系;本节中的格林公式则反映了平面区域上的二重积分与其边界上的第二型曲线积分之间的联系.一、格林公式二、曲线积分与路线的无关性返回一、格林公式设区域D的边界L是由一条或几条光滑曲线所组成.边界曲线的正方向规定为:当人沿边界行走时,区域D总在它的左边,如图21-12所示.与上述规定的方向相反的方向称为负方向,记为定理21.11若函数在闭区域D上有连续的一阶偏导数,则有(1)这里L为区域D的边界曲线,并取正方向.公式(1)称为格林公式.证根据
2、区域D的不同形状,这里对以下三种情形(i)若D既是x型又是y型区域(图21-13),则可表为作出证明:又可表为这里和分分别是曲线和的方程.于是别为曲线和的方程,而和则图21-13同理又可证得将上述两个结果相加即得(ii)若区域D是由一条按段光滑的闭曲线围成,且可用几段光滑曲线将D分成有限个既是x型又是y型的子区域(如图21-14),则可逐块按(i)得到它们的格林公式,然后相加即可.如图21-14所示的区域D,可将它分成三个既是x型又是y型的区域于是(iii)若区域D由几条闭曲线所围成,如图21-15所示.这把区域化为(ii)的情形来处时可适当添加线段理
3、.在图21-15中添加了后,D的边界则由注1并非任何单连通区域都可分解为有限多个既是型又是型区域的并集,例如由及构成.由(ii)知所围成的区域便是如此.注2为便于记忆,格林公式(1)也可写成下述形式:注3应用格林公式可以简化某些曲线积分的计算.请看以下二例:第一象限部分(图21-16).解对半径为r的四分之一圆域D,应用格林公式:由于因此例1计算其中曲线是半径为r的圆在例2计算其中L为任一不包含原点的闭区域的边界线.解因为它们在上述区域D上连续且相等,于是所以由格林公式立即可得在格林公式中,令则得到一个计算平面区域D的面积SD的公式:(2)例3计算抛物
4、线与x轴所围图形的面积(图21-17).解曲线由函数表示,为直线于是二、曲线积分与路线的无关性在第二十章§2中计算第二型曲线积分的开始两个例子中,读者可能已经看到,在例1中,以A为起点B为终点的曲线积分,若所沿的路线不同,则其积分值也不同,但在例2中的曲线积分值只与起点和终点有关,与路线的选取无关.本段将讨论曲线积分在什么条件下,它的值与所沿路线的选取无关.首先介绍单连通区域的概念.若对于平面区域D内任一封闭曲线,皆可不经过D以外的点而连续收缩于属于D的某一点,则称此平面区域为单连通区域;否则称为复连通区域.在图21-18中,与是单连通区域,而与则是复
5、连通区域.单连通区域也可以这样叙述:D内任一封闭曲线所围成的区域只含有D中的点.更通俗地说,单连通区域就是没有“洞”的区域,复连通区域则是有“洞”的区域.定理21.12设D是单连通闭区域.若函数在D内连续,且具有一阶连续偏导数,则以下四个条件两两等价:(i)沿D内任一按段光滑封闭曲线L,有(ii)对D中任一按段光滑曲线L,曲线积分与路线无关,只与L的起点及终点有关;(iii)是D内某一函数的全微分,即在D内有(iv)在D内处处成立证(i)(ii)如图21-19,设与为联结点A,B的任意两条按段光滑曲线,由(i)可推得所以D内任意一点.由(ii),曲线积
6、分与路线的选择无关,故当在D内变动时,其积分值是的函数,即有取充分小,使则函数对于x的偏增量(图21-20)(ii)(iii)设为D内某一定点,为因为在D内曲线积分与路线无关,所以因直线段BC平行于x轴,故,从而由积分中值定理可得其中根据在D上连续,于是有同理可证所以证得(iii)(iv)设存在函数使得因此于是由一点处都有(iv)(i)设L为D内任一按段光滑封闭曲线,记L所围的区域为.由于D为单连通区域,所以区域含在D内.应用格林公式及在D内恒有的条件,就得到以及P,Q具有一阶连续偏导数,便可知道在D内每上面我们将四个条件循环推导了一遍,这就证明了它们
7、是相互等价的.应用定理21.12中的条件(iv)考察第二十章§2中的例1与例2.在例1中由于故积分与路线有关.在例2中由于所以积分与路线无关.例4计算其中到点D(0,1)的路径(见图21-21).分析如果第二型曲线积分在某单连通区域内满足与路径无关的条件,则可改变积分路径,使易于计算.L为沿着右半圆周由点A(0,-1)解记易知除去点E(0.5,0)外,处处满足设为由点到点再到点最图21-21的折线段.后到点可被包含在某一不含奇点E的单连通区域内,所以有注1定理21.12中对“单连通区域”的要求是重要何不包含原点的单连通区域,已证得在这个区域内的任何封闭
8、曲线L上,皆有(3)的.如本例若取沿y轴由点A到点D的路径,虽然算起来很简单,但却不可用.因为
