第06讲～第07讲--第03章：多自由度.ppt

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1、第三章：多自由度系统的振动结构动力学第一部分：振动基础理论2011年4月8日—上课内容3.1前言实际工程中，大量的振动问题都属于多自由度系统的振动问题。本章讨论的系统只限于具有具有完整约束和理想约束的系统。这类系统中广义坐标的个数等于系统的自由度数目。具有不完整约束的系统，其广义坐标数不等于系统的自由度数，而大于系统的自由度数。多自由度系统的自由度数等于描述该系统运动状态所必需的最少独立坐标数；n个自由度的动力系统的振动，就需要n个独立坐标来描述。通常使用广义坐标。3.1前言完整约束：约束方程中显含时间变量t，但不包含坐标对时间的导数。理想约束：所有约束反力在虚位移上所作的元

2、功之和为零。多自由度系统中二自由度系统最简单，其振动特性与多自由度系统没有本质区别。因此，分析多自由度系统的振动问题主要以二自由度系统来进行说明；3.2运动方程的建立方法：采用分析力学的方法。从能量观点和系统的总体出发，利用拉格朗日方程来导出多自由度系统的运动方程坐标：采用广义坐标。任何一组足以确定系统运动状态的独立变量。广义坐标在复杂系统中不一定具有明显的物理意义。描述动力学系统状态的广义坐标是随时间而变化的。广义坐标对时间的一次导数称为广义速度。广义坐标对时间的二次导数称为广义加速度。多自由度系统的动力分析，用广义坐标描述系统的运动，表示系统的动能、势能、功等标量以及它们

3、之间的关系。设系统有n个自由度。用坐标向量来表示n维空间任意一点i的位置。设n个广义坐标为：系统中任意一点的位置可表示为：┄┄┄┄┄┄┄┄(3-1)一.虚位移原理与广义力对于定常约束情况，不显含时间t，所以有：所以有：┄┄┄┄┄(3-2)其中为广义速度，即：一.虚位移原理与广义力虚位移的概念：虚位移是系统约束所许可的坐标的微小改变量，它不一定是真实的位移。虚位移是假想的坐标的瞬时改变量，与时间无关。系统内任一点i的虚位移用表示。┄┄┄┄┄┄┄┄(3-3)将(3-3)式代入(3-4)得：设系统中任意一点i上作用的主动力的合力为，则其主动力的虚功可表示为：虚位移原理：在理想约束下

4、，质点系平衡的必要而充分条件是所有主动力在虚位移上所作的元功之和等于零。┄┄┄┄┄┄┄┄(3-4)Qj---叫做对应广义坐标的广义力，Qj的量纲和的量纲有关。它是由乘积的量纲必须是功的量纲来决定。┄┄┄┄┄┄┄(3-5)改变求和顺序即可得到主动力以广义坐标表示的虚功之和为：式中：┄┄┄┄┄┄(3-6)根据虚位移原理有：┄┄┄┄┄┄┄┄(3-7)由于，所以必有┄┄┄┄(3-8)上式说明：在理想约束条件下，n个自由度系统平衡的充分和必要条件是n个广义力必须等于零。1、动能即：┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(3-9)将(3-2)式代入二.动能与势能系统的总动能为┄┄┄┄┄┄┄┄(3-11)

5、可见广义质量是广义坐标的函数。将广义质量在平衡位置附近安台劳级数展开，可得：其中---广义质量系数，且┄┄┄┄┄┄┄┄(3-10)由于是微振动广义坐标是偏离平衡位置的小量，在动能表达式（3-9）式中只需保留二阶小量的各项，所以在（3-11）式中只需保留第一项。这样本来是广义坐标函数的广义质量现在变成了在平衡位置取值的常数。即取：最后得系统的动能表达式：┄┄┄┄┄┄┄(3-12a)式中：---广义速度列阵；---广义质量矩阵；且┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(3-12b)系统动能的矩阵表达式为：在定常约束下，动能T是广义速度的二次函数。动能总是大于零的，有恒正的性质。质量矩阵M是正定的，

6、动能函数T是正定二次型。动能特点根据理论力学：在势力场中，由选定参考基准位置经任意路径到达另一位置时，势力所做的功的负值，即为所到达位置的势能。由于势能是位置的单调函数，所以可以用n个独立的广义坐标来表示，即：2、势能根据虚功原理，在势力场中，系统平衡的充分必要条件是系统的n个广义力必须为零，即：┄┄┄┄┄┄┄(3-14)┄┄┄┄┄┄(3-13)设系统的虚位移为，则在势力场中，势力所做的虚功，也就是对应的势能增量为：┄┄┄┄┄┄(3-15)将势能在平衡位置附近按台劳级数展开，得：在微振动理论中，通常取静平衡位置为广义坐标的原点，所以有：┄┄┄┄(3-16)因取平衡

7、位置为广义坐标原点，根据（3-15）式，上式第一项为零。由于广义力是在平衡位置取值，根据（3-14）式，上式的第二项为零。由于是在平衡位置附近的微振动问题，所以保留势能表达式中的二阶项就足够了，所以可以取势能表达式为：┄┄┄┄(3-17)---刚度系数，是势能对广义坐标的二阶导数在平衡位置取值。┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(3-18)将系统势能表达式（3-17）式用矩阵形式表示，则有：┄┄┄┄┄┄┄┄┄(3-19)式中：---广义坐标列阵；---广义刚度矩阵；且系统弹性变形所储存的势能总是大于零的，所以