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1、第二讲分数的拆分参考答案【知识要点】1、基本概念单位分数:分子为1,分母是非零自然数的分数叫单位分数;分数的分拆:把一个分数拆分成几个分数相加的和或差,叫做分数的拆分;2、方法和技巧(1)把一个单位分数拆分成几个单位分数相加的和(或差);(2)把一个真分数拆分成几个单位分数相加的和(或差);(3)把一个假分数拆分成几个单位分数相加的和.3、分数拆分的意义计算某些分数数列的和时,常采用“裂项相消法”,即先把其中的一些分数适当拆分,把算式中各项分解成两个数的差或和,使得其中一部分可以相互抵消,消去其中的若干个分数,从而达到简化计算的目地.4、几
2、个常用的分数拆分公式:;;.一、巧填例1在等式的括号中填入适当的自然数,使等式成立.解析在等式中,从左往右看,是分数的拆分;从右往左看的话,则是分数的加法.因此可见,分数加减法和拆分是完全相反的两个过程.分数加法的计算过程:通分,合并,约分;所以拆分的过程为:扩分,拆分,约分.考虑8的约数:1,2,4,8.从中任选两个,取其和作为扩分的倍数.特殊地.注1解答形如之类的分拆题目,如果只求一组解,可用公式直接写出;如果要求写出几组解,就先写出的约数,任取其中的2个约数,把的分子分母同时乘以这两个约数的和,再拆分成两个分数的和,通过约分,两个分数
3、就都可以变成单位分数;如果要把的拆分成三个、四个单位分数的和,就取的三个、四个约数……练习一1.当时,求的值.解析所以这是一个简单的开放题.答:的值可以是16,15,25等.2.写出两组满足条件的的值,其中为两个不相等的四位数.解析思路与例1完全一样.3.在的每个括号中填入一个数,且要求所填的两个分母均为两位数,这三个分母不互质,即其最大公约数不等于1.解析满足条件.二、巧填例2将拆分成三个单位分数之和(任求一解).解析一种方法是:可以先分拆成两个单位分数的和,然后再将其一个单位分数再拆分;例如;(答案不唯一)另一种方法则是将例1的思想加以
4、推广.例如.其它的拆分方法可类似地得到,略.练习二1.试计算:(任求一解).解析.2.在下面的算式中的每个括号里填入一个适当的数,使等式成立.解析3.把1拆分成五个不同的单位分数之和(任写三组解).解析其中最后一种方法是巧借完全数.三、巧填例3在下面的算式中的每个括号里填入一个适当的自然数,使等式成立.解析思路与例1类似,考虑到分母15的约数有:1,3,5,15,发现其中的1与3的和正好等于分子,由此我们得到同样.所以拆分的结果不是唯一的.特别应该注意的是,并不是所有的真分数都可以分拆成两个单位分数的和,但一定可以分拆成多个单位分数的和.例
5、如不可能拆分成两个单位分数的和.练习三1.把下列真分数拆分成两个单位分数和或差的形式:(1);(2).解析(1)(2).2．若是自然数,求符合条件的的值.解析3．如果那么是多少?解析请同学们思考题之，如何把假分数拆分成四个单位分数之和.例如拆分的方式很多,尤其是在分数的加减法运算中,具体如何拆分,关键看题的构造.例4把表示成最少的几个分子为1、分母尽可能小且互不相同的分数的和.试写出这几个单位分数的和的式子.解析原分数的分母29是质数,除了1和29外,没有其它约数.因此无法象例3那样进行拆分.解决的方法是:利用分数的基本性质,先扩分,再拆分
6、.例如.这是由于2是除0和1外的最小的自然数,所以这样拆分是个数最少,分母也尽可能小,而且三个公母互不相同,答合题意.这道题也可以从最小的单位分数入手考虑,同样会得到相同的结果.练习四1.在下面算式的括号中,填入适当的不同的自然数:.解析;同样,所以答案不唯一.2.试将分数拆分成三个不同的单位分数之和.解析.3.有七个单位分数之和等于1,其中的三个分数分别是,其余四个分数的分母都是偶数.请你写出这四个分数.解析将其分解成分母均为偶数的四个单位分数的和即可,例如【课后精练与思考题】1.在下面的算式中,所有的分母都是四位数,请在每个括号中填入一
7、个适当的数,使等式成立.解析,(3,1)是借助于其约数3,1的差进行扩分.2.在下式中的方括号和圆括号中,分别填入适当的自然数,使等式成立,圆括号中应填多少?(1);(2)(1999年小学数学奥林匹克预赛A(B)卷试题)解析(1);(2).3．在算式中,代表三个不同的自然数,这三个自然数分别是多少？解析4.已知两个不同的单位分数之和是,那么这两个单位分数之差的最小值是多少?解析最小值是.因为12的约数有1,2,3,4,6,12,要使两个单位分数之差最小必须使这两个分数最接近,所以试进一步思考,如何计算两个单位分数之差最大值呢?5．把13个苹
8、果平均分给12个小朋友,每个苹果只允许分成两份、三份或四份.问:应该怎么分?解析把13个苹果平均分给12个小朋友,每个小朋友得个.将分数分拆成分母分别为2,3,4的单位分数,得到
