多项式的Fermat定理.doc

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1、大学生数学竞赛高等代数思想与方法培训教程第13讲典型例题和基本技能第十三讲(下)多项式的Fermat定理1．关于多项式的Fermat大定理的背景资料1621年，法国学者Fermat收藏了一本古希腊数学家Diophantos的数论著作，在书中关于“把一个平方数分解为两个平方数的和”的这一章的某页的边缘上写下了一个批注；“反之，不可能把一个立方数分解为两个立方数的和，不可能把一个四次方数分解为两个四次方数的和。一般地，除了二次幂以外，不可能把一个乘幂分解为两个同次乘幂的和。对此，我已经找到了一个奇妙的证法。

2、不过，页边地方太狭窄，容纳不下。”Fermat的意思翻译成数学语言就是Fermat大定理对于任何自然数，方程没有正整数解。Fermat曾经打算写一本书，讲一讲他解决数论问题的独特方法，但对任何人都不肯稍稍宽限的死神把他带走了。后人在整理他的书稿时发现了这个批注，以Fermat的人品，凡是他声称证明过的结论没有一个遭到否定（唯一遭到否定的就是他声称的恒能得到素数，但恰恰这个结论他又声称他自己没有找到合理的证明），所有这些使后人坚信Fermat的结论是正确的。差不多三百年来有名的数学家都想要解决这个问题。法

3、国的科学院，比利时的皇家科学院等数学团体都曾悬赏给这个问题解决者，可惜没有人能拿到。他们是多么地希望Bachet所译的这部Diophantos的著作边页能够加宽一些，让Fermat多留下一些信息，使后人能够猜出Fermat的思想。不仅如此，在Fermat留下的其它任何书稿中，再也没有关于此问题的只言片语，不管后者如何坚持不懈，孜孜以求，几百年来该问题始终无法解决，即不能证明也不能否定。“方程没有正整数解”成了数学历史上第一个无法否定也没有证明就被命名为定理的Fermat最后定理。十九世纪，抽象代数和多项

4、式理论的发展，人们发现很多关于整数的信息也能在域上多项式环里找到（后来人们把很接近整数环的这些环叫做Euclid环），因此萌发了类似的猜想多项式的Fermat大定理对于数域P上任意三个多项式，若，且不全为常数，以及任何自然数，等式永远不成立。此猜想公布不久，数学家借用当时代数几何学的理论，成功地获得了证明，证明的篇幅不短，证明方法也是非常的专业和深奥。这也更加增大了数学家们对Fermat大定理的坚信。1908年，德国一个数学爱好者Paul，从他的财产中拿出十万马克悬赏求解Fermat大定理的正确证明，期

5、限100年。即：在公元2007年之前，第一个给出Fermat大定理的正确证明的人，就能领取这笔巨大的奖金。使得数学家们又开始了新一轮与时间的竞争，又经过近百年的努力，终于在1995年由英国的A.Wiles给出了完整的证明。三百多年，如愿以偿！）Fermat大定理的证明方法和多项式的Fermat大定理的证明方法一样，都是深奥和难以理解的。至少在代数学家们觉得关于整数的认识和关于域上多项式环的认识都已经完成得差不多了的时候，很难期待再有更简洁的证明。然而R.C.Mason在1983年却发现了一个关于多项式的

6、非常有趣的新结果（见本文后）。它的出现犹如石破天惊！使得关于多项式的Fermat大定理的证明变得非常地容易，它又一次打破了一种平衡。就象关于Goldbach猜想的讨论一样，关于自然数的Goldbach猜想迄今还没有获得证明，而由于不可约多项式的Eisestein判别法的发现，使得关于多项式的Goldbach猜想早已经很容易地被证明了。2．关于多项式的Fermat大定理的证明7授课教师张卫授课时间2010年秋季大学生数学竞赛高等代数思想与方法培训教程第13讲典型例题和基本技能设是一个复系数多项式，我们用表

7、示的次数，表示的所有根中不同的根的个数，是的基本多项式（即的全体互不相同的首项系数等于1的不可约多项式及的首项系数的乘积），由高等代数的结论，我们有，而且每个根都对应于一个一次因式。由于在复数域C中，不可约多项式只有一次多项式，因此根的个数和两两互素的一次因式的个数相等，也即和这些两两互素的一次因式的乘积的次数相等。因此在复数域C中，就等于这些两两互素的一次因式的乘积再乘以一个常数，从而有等式。另外一个显然的关系式就是。NoahSnyder定理（1998），那么。▌证明由于，所以。R.Tudeman定理

8、（1986）设，且都非零多项式，则。▌证明显然。若，则它们有公共根，因此就会有，矛盾。所以。推论一般地，如果多项式组两两互素，则。▌U.Zannier定理（1995）P是任意的数域，且适合关系，那么的充分必要条件是7授课教师张卫授课时间2010年秋季大学生数学竞赛高等代数思想与方法培训教程第13讲典型例题和基本技能或者，或者，或者，即适合这种关系的三个多项式总体互素的充分必要条件是它们两两互素。▌证明显然。若，则且，从而整除它俩的和，因此，