闵行暑假班新王牌数学暑假补习班晋S老师数列归纳法.doc

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1、数学归纳法【知识精要】1、归纳法：由特殊事例推出一般结论的推理方法，叫做归纳法。根据推理过程中考察的对象是涉及事物的全体或部分可分为完全归纳法和不完全归纳法。2、数学归纳法证题的步骤：（1）（归纳基础）证明当n取第一个值时，命题成立；（2）（归纳假设）假设当（）时命题成立，证明当时命题也成立，只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立。注：1）、在第二步的证明中必须用到前面的归纳假设，否则就不是数学归纳法了。2）、数学归纳法只适用于和正整数有关的命题。3、数学归纳法的应用：（1）证明与自然数n有关的恒等式和不等式；（2）证明整除问题；（3）证明与正整数n有

2、关的几何问题；（5）证明某些归纳，猜想问题。（4）由数列的递推关系证明通项公式问题；【热身练习】1、用数学归纳法证明：，第一步左式=，右式=。2、设，则=3、用数学归纳法证明，在假设时等式成立，进一步要证明时的等式为4、若用数学归纳法证明凸n边形个内角和等于，则n所取的第一个值应为3。【精解名题】一、等式归纳法证明：例1、用数学归纳法证明：当时，。证明：略。点评：本题证明与自然数n有关的恒等式，证明过程中第二步由n=k时等式成立到n=k+1时等式也成立的证明是难点也是重点。变式训练：用数学归纳法证明：1+3+6+…+=(n∈N).证明：略。例2、证明：能被6整除。答案：略。点

3、评：本题考查数学归纳法及数的整除法。关键：1）归纳假设的正确运用；2）对于3k(k+1)能被6整除的说明。变式训练：证明：对于任意，是133的倍数。二、不等式归纳法证明：例3、当n>1，n∈N时，求证：答案：略。变式训练：用数学归纳法证明：答案：略。三、几何归纳法证明：例4、用数学归纳法证明：凸n边形的对角线的条数为。答案：略。点评：本题是证明与正整数n有关的几何问题。关键是：弄清从k到k+1时变化规律。变式训练：证明：两两相交且没有任何三条直线共点的n条直线将平面分成的部分为。答案：略。例5、已知一次函数满足，又令在这个一次函数的图像上，若，且当时，恒有。（1）求的解析式；

4、（2）分别写出的值，并求出的通项公式，并证明。答案：（1）（2），，，猜想：点评：关键是建立的关系式。变式训练：已知数列中，，是的前n项和，且是的等差中项。（1）求，并猜想的表达式；（1）用数学归纳法证明猜想。答案：（1）猜想：四、简单的数列极限运算：例6、（1），求实数的值。（2）已知，求的值。答案：（1）（2）2【备选例题】1、用数学归纳法证明：答案：略，2、当n>1，n∈N时，求证：答案：略。3、用数学归纳法证明：能被整除，其中为整数，答案：略。4、已知数列是等差数列，(1)求数列的通项bn(2)设数列的通项,记是数列的前n项和，试比较与的大小，并证明你的结论。答案：（

5、1）（2）>5、已知数列中，，（1）求：，猜想的表达式；（2）用数学归纳法证明猜想。答案：（1），，，6、设f(n)=是否存在一个最大的自然数m，使不等式f(n)>对n∈N恒成立？若不存在，请说明理由；若存在，求出m之值，并证明该不等式。答案：17【巩固练习】1、对某些，用数学归纳法可以证明不等式：成立，第一步验证不等式成立，正确的是（D）A、n=1时，B、n=2时，C、n=1时，D、n=2时，2、用数学归纳法证明(n+1)(n+2)…(n+n)=2n·1·3·…(2n-1)(n∈N)时，从“k到k+1”左边需增乘的代数式是(C)。(A)2k+1(B)(C)(D)3、用数学归

6、纳法证明：1+++…+1)在验证n=2成立时，左式是(C)。(A)1(B)1+1/2(C)1+1/2+1/3(D)1+1/2+1/3+1/44、某个与自然数n有关的命题，若n=k时，该命题成立，那么可推得当n=k+1时该命题也成立。现已知当n=5时该命题不成立，那么可推得(C)。(A)当n=6时该命题不成立(B)当n=6时该命题成立(C)当n=4时该命题不成立(D)当n=4时该命题成立5、用数学归纳法证明：1-+-+……+-=++…+，第一步应验试左式是，右式是。6、k为正偶数，表示等式则表示的等式为7、若要用数学归纳法证明2n>n2(n∈N)则仅当n取值范围是时不

7、等式才成立。8、设，则=9、猜想：1=1,1-4=-(1+2),1-4+9=1+2+3,…第n个式子为1-4+9-…+(-1)n+1·n2=(-1)n+1·n2=(-1)n-1(1+2+…+n)。10、计算：=6【作业】1．用数学归纳法证明时，由n=k的假设到证明n=k+1时，等式左边应添加的式子是（）A．B．C．D．2.用数学归纳法证明对n为正偶数时某命题成立，若已假设为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证（）A．时等式成立B．时等式成立C．时等式成立D．时等式成立3.用数学归纳法证明“能被6整除