曲面及其方程 ppt.ppt

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1、9.3曲面及其方程定义1.如果曲面S与方程F(x,y,z)=0有下述关系:(1)曲面S上的任意点的坐标都满足此方程;则F(x,y,z)=0叫做曲面S的方程,曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的图形.两个基本问题:已知动点按照某种规律运动,求运动(2)坐标满足方程的点都在曲面S上,轨迹所产生的曲面方程.(2)已知方程时,研究它所表示的几何图形(必要时需作图).机动目录上页下页返回结束故所求方程为例1.求动点到定点方程.特别,当M0在原点时,球面方程为解:设轨迹上动点为即依题意距离为R的轨迹表示上(下)球面.机动目录上页下页返回结束一、球面及其

2、方程例2.研究方程解:配方得此方程表示:说明:如下形式的三元二次方程(A≠0)都可通过配方研究它的图形.其图形可能是的曲面.表示怎样半径为的球面.球心为一个球面,或点,或虚轨迹.机动目录上页下页返回结束二、柱面引例.分析方程表示怎样的曲面.的坐标也满足方程解:在xoy面上，表示圆C,沿曲线C平行于z轴的一切直线所形成的曲面称为圆故在空间过此点作柱面.对任意z,平行z轴的直线l,表示圆柱面在圆C上任取一点其上所有点的坐标都满足此方程,机动目录上页下页返回结束定义2.平行定直线并沿定曲线C移动的直线l形成的轨迹叫做柱面.表示抛物柱面,母线平行

3、于z轴;准线为xoy面上的抛物线.z轴的椭圆柱面.z轴的平面.表示母线平行于(且z轴在平面上)表示母线平行于C叫做准线,l叫做母线.机动目录上页下页返回结束一般地,在三维空间柱面,柱面,平行于x轴;平行于y轴;平行于z轴;准线xoz面上的曲线l3.母线柱面,准线xoy面上的曲线l1.母线准线yoz面上的曲线l2.母线机动目录上页下页返回结束定义3.一条平面曲线三、旋转面绕其平面上一条定直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转面.该定直线称为旋转轴，曲线成为旋转面的母线例如:机动目录上页下页返回结束建立yoz面上曲线C绕z轴旋转所成曲面的方程:故

4、旋转曲面方程为当绕z轴旋转时,若点给定yoz面上曲线C:则有则有该点转到机动目录上页下页返回结束思考：当曲线C绕y轴旋转时，方程如何？机动目录上页下页返回结束例3.试建立顶点在原点,旋转轴为z轴,半顶角为的圆锥面方程.解:在yoz面上直线L的方程为绕z轴旋转时,圆锥面的方程为两边平方机动目录上页下页返回结束例4.求坐标面xoz上的双曲线分别绕x轴和z轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.解:绕x轴旋转绕z轴旋转这两种曲面都叫做旋转双曲面.所成曲面方程为所成曲面方程为机动目录上页下页返回结束总结(1)面上的曲线和面上的曲线绕轴旋转所形成的旋转面方程

5、均为(2)面上的曲线和面上的曲线绕轴旋转所形成的旋转面方程均为(3)面上的曲线和面上的曲线绕轴旋转所形成的旋转面方程均为四、空间曲线的一般方程空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组例如,方程组表示圆柱面与平面的交线C.C机动目录上页下页返回结束又如,方程组表示上半球面与圆柱面的交线C.机动目录上页下页返回结束空间曲线在坐标面上的投影设空间曲线C的一般方程为消去z得投影柱面则C在xoy面上的投影曲线C´为消去x得C在yoz面上的投影曲线方程消去y得C在zox面上的投影曲线方程机动目录上页下页返回结束例如,在xoy面上的投影曲线方程为机

6、动目录上页下页返回结束又如,所围的立体在xoy面上的投影区域为:上半球面和锥面在xoy面上的投影曲线二者交线所围圆域:二者交线在xoy面上的投影曲线所围之域.机动目录上页下页返回结束9.4二次曲面二次曲面三元二次方程适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅就几种常见标准型的特点进行介绍.研究二次曲面特性的基本方法:截痕法其基本类型有:椭球面、抛物面、双曲面、锥面的图形通常为二次曲面.(二次项系数不全为0)机动目录上页下页返回结束1.椭球面(1)范围：(2)与坐标面的交线：椭圆机动目录上页下页返回结束与的交线为椭圆：(4)当a＝b时为旋转

7、椭球面;同样的截痕及也为椭圆.当a＝b＝c时为球面.(3)截痕:机动目录上页下页返回结束2.椭圆锥面(二次锥面)椭圆在平面x＝0或y＝0上的截痕为过原点的两直线.①机动目录上页下页返回结束3.双曲面(1)单叶双曲面椭圆.时,截痕为(实轴平行于x轴；虚轴平行于z轴）平面上的截痕情况:机动目录上页下页返回结束双曲线:虚轴平行于x轴）时,截痕为时,截痕为(实轴平行于z轴;机动目录上页下页返回结束相交直线:双曲线:(2)双叶双曲面双曲线椭圆注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:双曲线单叶双曲面双叶双曲面P18目录上页下页返回结束图形4.抛物面(1)椭圆

8、抛物面(p,q同号)(2)双曲抛物面（鞍形曲面）特别,当p=q时为绕z轴的旋转抛物面.(p,q同号)机动目录上页下页返回结束总结.二次曲面三元二次方程椭球面抛物面:椭圆抛物面双曲