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1、高等数学教案§12微分方程第七章：微分方程主讲-----姜进进教学目的：1．了解微分方程及其解、阶、通解，初始条件和特等概念。2．熟练掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法。3．会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程。4．会用降阶法解下列微分方程：，和5．理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。6．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。7.求自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解。8.会解欧拉方程，会解包含两个未知函数的一阶常系数线
2、性微分方程组。9．会解微分方程组（或方程组）解决一些简单的应用问题。教学重点：1、可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法2、可降阶的高阶微分方程，和3、二阶常系数齐次线性微分方程；4、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程；教学难点：1、齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程；2、线性微分方程解的性质及解的结构定理；3、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解。4、欧拉方程高等数学教案§12微分方程§7.1微分方程的基本概念函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映,利用函数关系又可以对
3、客观事物的规律性进行研究.因此如何寻找出所需要的函数关系,在实践中具有重要意义.在许多问题中,往往不能直接找出所需要的函数关系,但是根据问题所提供的情况,有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式.这样的关系就是所谓微分方程.含有未知函数的导数或微分的方程叫做微分方程。历史悠久（与微积分同时诞生），应用广泛。微分方程建立以后,对它进行研究,找出未知函数来,这就是解微分方程.例1一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点M(x,y)处的切线的斜率为2x,求这曲线的方程.解设所求曲线的方程为y=y(x).根据导数的几何意义,可知未知函数y=y(x)应满足关系式(称为微分方程).(
4、1)此外,未知函数y=y(x)还应满足下列条件:x=1时,y=2,简记为y
5、x=1=2.(2)把(1)式两端积分,得(称为微分方程的通解),即y=x2+C,(3)其中C是任意常数.把条件“x=1时,y=2”代入(3)式,得2=12+C,由此定出C=1.把C=1代入(3)式,得所求曲线方程(称为微分方程满足条件y
6、x=1=2的解):y=x2+1.例2列车在平直线路上以20m/s(相当于72km/h)的速度行驶;当制动时列车获得加速度-0.4m/s2.问开始制动后多少时间列车才能停住,以及列车在这段时间里行驶了多少路程?解设列车在开始制动后t秒时行驶了s米.根据题意,反映制动阶段
7、列车运动规律的函数s=s(t)应满足关系式.(4)此外,未知函数s=s(t)还应满足下列条件:高等数学教案§12微分方程t=0时,s=0,.简记为s
8、t=0=0,s¢
9、t=0=20.(5)把(4)式两端积分一次,得;(6)再积分一次,得s=-0.2t2+C1t+C2,(7)这里C1,C2都是任意常数.把条件v
10、t=0=20代入(6)得20=C1;把条件s
11、t=0=0代入(7)得0=C2.把C1,C2的值代入(6)及(7)式得v=-0.4t+20,(8)s=-0.2t2+20t.(9)在(8)式中令v=0,得到列车从开始制动到完全停住所需的时间(s).再把t=50代入(9),得
12、到列车在制动阶段行驶的路程s=-0.2´502+20´50=500(m).几个概念:微分方程:表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程,叫微分方程.常微分方程:未知函数是一元函数的微分方程,叫常微分方程.偏微分方程:未知函数是多元函数的微分方程,叫偏微分方程.微分方程的阶:微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数,叫微分方程的阶.x3y¢¢¢+x2y¢¢-4xy¢=3x2,y(4)-4y¢¢¢+10y¢¢-12y¢+5y=sin2x,y(n)+1=0,一般n阶微分方程:F(x,y,y¢,×××,y(n))=0.高等数学教案§12微分方程y(n)=f(x,y,y
13、¢,×××,y(n-1)).微分方程的解:满足微分方程的函数(把函数代入微分方程能使该方程成为恒等式)叫做该微分方程的解.确切地说,设函数y=j(x)在区间I上有n阶连续导数,如果在区间I上,F[x,j(x),j¢(x),×××,j(n)(x)]=0,那么函数y=j(x)就叫做微分方程F(x,y,y¢,×××,y(n))=0在区间I上的解.通解:如果微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同,这样的解叫做微分方程的通解.初始条件:用于确定通解中任意常数的条件,称为初始条件.如x=x
