材料力学教程课件12-弯曲变形.ppt

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1、材料力学第6章弯曲变形2021年9月2日§6-1基本概念及工程实例§6-4用叠加法求弯曲变形§6-3用积分法求弯曲变形§6-2挠曲线的微分方程§6-5静不定梁的解法§6-6提高弯曲刚度的措施第六章弯曲变形§6-1基本概念及工程实例一、工程实例但在另外一些情况下，有时却要求构件具有较大的弹性变形，以满足特定的工作需要。例如，车辆上的板弹簧，要求有足够大的变形，以缓解车辆受到的冲击和振动作用。二、研究目的1、解决梁的刚度问题2、求解静不定梁3、为研究稳定问题打基础1、挠度横截面形心C(即轴线上的点)在垂直于x轴方向的线位移,称为该截面的挠度，用w表示。三、梁的变

2、形描述wC'CAByxx2、转角横截面对其原来位置的角位移,称为该截面的转角.用表示w挠度C'CAByxx转角3、挠曲线梁变形后的轴线称为挠曲线.式中,x为梁变形前轴线上任一点的横坐标,w为该点的挠度。挠曲线方程w挠度C'CAByxx转角挠曲线4、挠度与转角的关系w挠度C'CAByxx转角dxdxdwθ5、挠度和转角符号的规定挠度向上为正,向下为负.转角自x转至切线方向,逆时针转为正,顺时针转为负.w挠度C'CAByxx转角§6–2挠曲线近似微分方程一、推导公式1、纯弯曲时曲率与弯矩的关系横力弯曲时,M和都是x的函数.略去剪力对梁的位移的影响,则

3、2、由数学得到平面曲线的曲率与1相比十分微小而可以忽略不计,故上式可近似为在规定的坐标系中,x轴水平向右为正,w轴竖直向上为正.曲线向上凸时,OxyxOy因此,与的正负号相同曲线向下凸时:一、微分方程的积分1、积分一次得转角方程2、再积分一次,得挠度方程§6-3用积分法求弯曲变形二、积分常数的确定1、边界条件AB在简支梁中,左右两铰支座处的挠度和都等于0.在悬臂梁中,固定端处的挠度和转角都应等于零.AB2.连续条件：分段处挠曲轴应满足的连续、光滑条件$挠曲轴在B点连续且光滑连续:ADFBABxFy例6.1图示一抗弯刚度为EI的悬臂梁,在自由端受一集中力F作用

4、.试求梁的挠曲线方程和转角方程,并确定其最大挠度和最大转角。(1)弯矩方程为【解】(2)挠曲线的近似微分方程为xyABxF对挠曲线近似微分方程进行积分梁的转角方程和挠曲线方程分别为边界条件将边界条件代入(3)(4)两式中,可得yABxFBxyAF（）都发生在自由端截面处和（）例6.2图示一抗弯刚度为EI的简支梁,在全梁上受集度为q的均布荷载作用.试求此梁的挠曲线方程和转角方程,并确定其和ABqlyx【解】ABqlRARBx此梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为梁的支反力为梁的转角方程和挠曲线方程为边界条件xABqlRARBAB在x=0和x=l处转角的绝对值

5、相等且都是最大值，最大转角和最大挠度分别为wmax在梁跨中点处有最大挠度值D=0例6.3图示一抗弯刚度为EI的简支梁,在C点处受一集中力F的作用。试求此梁的挠曲线方程和转角方程,并求其最大挠度和最大转角。ABFCabl【解】梁的支反力为RARBABFCabl12xx两段梁的弯矩方程分别为分段列出梁的挠曲线近似微分方程，并分别进行积分：左段梁右段梁C点的连续条件边界条件在x=a处在x=0处，在x=l处，代入方程可解得:ABFCab12RARB从而得两段梁的转角方程和挠曲线方程如下：左段梁右段梁将x=0和x=l分别代入转角方程左右两支座处截面的转角当a>b时,右

6、支座处截面的转角绝对值为最大简支梁的最大挠度应在处因为θA<0，θB>0，当a>b时,θC>0,所以θ=0的截面在AC段。令θ1=0，得最大挠度出现的位置为此时，梁中点处的挠度为在集中力无限接近B支座的极限情况时，b0略去括号中第二项，得结论:在简支梁中,不论它受什么荷载作用,只要挠曲线上无拐点,其最大挠度值都可用梁跨中点处的挠度值来代替,其精确度是能满足工程要求的.相对误差为梁的变形微小,且梁在线弹性范围内工作时,梁在几项荷载同时作用下的挠度和转角，就分别等于每一荷载单独作用下该截面的挠度和转角的叠加。当每一项荷载所引起的挠度为同一方向(如均沿y轴方向),

7、其转角是在同一平面内(如均在xy平面内)时,则叠加就是代数和。这就是叠加原理。一、叠加原理§6-4用叠加法求弯曲变形1、载荷叠加多个载荷同时作用于结构而引起的变形等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和.2、结构形式叠加（逐段刚化法）例6.4一抗弯刚度为EI的简支梁受荷载如图所示.试按叠加原理求梁跨中点的挠度wC和支座处横截面的转角A,B。ABCqml【解】将荷载分为两项简单的荷载,如图所示ABCqm(a)lBAm(c)lAq(b)BlCC()()()ABC例6.5求图示外伸梁C点的挠度和转角。（逐段刚化法）ABCABCqa/2qa2/2刚化AB,

8、可视BC为悬臂梁考虑AB段变形(刚化BC)例6.6求