数学分析第四章函数的连续性.ppt

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1、第四章函数的连续性9/14/20211§1函数连续的概念°y=ƒ(x)Ag(x0)Ag(x0)引例9/14/20212一、函数的连续性1.连续的定义和极限存在的区别9/14/20213函数的连续的等价定义2.函数的增量°y=ƒ(x)9/14/202149/14/20215例1证由定义1知9/14/202163.单侧连续定理9/14/20217左、右极限存在且与函数值相等.9/14/20218例2解右连续但不左连续,9/14/202194.函数的区间连续在区间(a,b)上每一点都连续的函数,叫做区间(a,b)上的连续函

2、数,或者说函数在区间(a,b)上连续.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.例如,记为：9/14/202110例3证9/14/202111oyxoyxoyx二、函数的间断点oyx9/14/202112二、函数的间断点连续间断9/14/202113例4解这种情况称x=0为震荡间断点.9/14/202114例5符号函数1-1xyo9/14/202115例6解9/14/202116可去间断点注意可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点.9/14/2021179/14/202118解例89/14/20

3、21199/14/202120例9解9/14/202121间断点分类：第Ⅰ类间断点：都存在第Ⅱ类间断点：不全存在9/14/202122可去型第一类间断点oyx跳跃型无穷型振荡型第二类间断点oyxoyxoyx9/14/202123例10解9/14/202124三、小结1.函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数;第一类间断点:跳跃型,可去型.第二类间断点:无穷型,振荡型.间断点9/14/202125思考题9/14/202126思考题解答且9/14/202127但反之不成立.例但9/

4、14/202128练习题9/14/2021299/14/202130练习题答案9/14/2021319/14/202132三、一致连续性f(x)在某个区间I（或开，或闭）连续，指得是f(x)在I中每一点都连续，即这就是函数在区间上的一致连续性问题。9/14/202133定义（一致连续）设f(x)为定义在区间I上的函数，若则称f在I上一致连续。f在I上一致连续f在I上连续。反之不然。一致连续是整体概念。9/14/202134连续：一致连续：9/14/202135一般说来对I上无穷多个点，存在无穷多个d,这无穷多个d的

5、下确界可能为零，也可能大于零。如果这无穷多个d的下确界为零，则不存在适合I上所有点的公共的大于0的d，这种情况f(x)在I上一致连续。如果这无穷多个d的下确界大于零，则必存在对I上每一点都适用的公共的d，这种情况f(x)在I上不一致连续，9/14/202136不一致连续：定理（Contor定理，一致连续性定理）若f在[a,b]连续，则f在[a,b]一致连续。一致连续：9/14/202137例1证9/14/202138例2证（1）9/14/2021399/14/202140第二节连续函数的运算与初等函数的连续性一、连

6、续函数的和、积及商的连续性二、反函数与复合函数的连续性三、初等函数的连续性四、小结9/14/202141一、连续函数的和、积及商的连续性定理1例如,9/14/202142二、反函数与复合函数的连续性定理2严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数.例如,反三角函数在其定义域内皆连续.9/14/202143定理3意义1.极限符号可以与函数符号互换;9/14/202144例1解定理3定理39/14/202145例2解29/14/202146定理4注意定理4是定理3的特殊情况.例如,9/14/202147三、初等函数的连续

7、性三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.★★★定理5基本初等函数在定义域内是连续的.只要证明连续即可9/14/202148★(可以证明，幂函数均在其定义域内连续)定理6一切初等函数在其定义区间内都是连续的.定义区间是指包含在定义域内的区间.9/14/202149★(均在其定义域内连续)9/14/202150例3例4解解初等函数求极限的方法代入法9/14/202151例1解9/14/202152例29/14/202153四、小结连续函数的和差积商的连续性.复合函数的连续性.初等函数的连续性.两个定理;两点意义.

8、反函数的连续性.9/14/202154练习题9/14/2021559/14/2021569/14/202157练习题答案9/14/202158第三节闭区间上连续函数的性质一、最值定理二、介值定理三、小结9/14/202159一、最值定理定义:最大、最小值定义9/14/202160定理1(最值定理)在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.注意：