高二竞赛讲义多项式的运算与整除.doc

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1、高二数学竞赛班二试讲义第1讲多项式的运算与整除班级姓名一、知识点金1．设是非负整数，表达式，其中（可以是复数集，实数集，有理数集，整数集），称作系数为的一元多项式。这样的一元多项式的集合记作。为次项的系数，若，则为多项式的首项，为首项系数，为多项式的次数，记作。若与中同次项的系数相等，则。2．中的多项式可作加、减、乘运算。设，，则3．带余除法：设，且，则存在中多项式与，使得，其中或者为零，或者；并且商式和余式由这些条件唯一确定。4．仿照数论中的带余除法可求得的最大公因式，记作。存在，使得5．当时，则称与互素。裴蜀等式：若与互素，则存在，使得。6．设，且不能分解为上两个正次数多项

2、式的积，则称是中不可约多项式，或在上不可约；否则称在上可约。7．唯一分解定理：中任一个正次数的多项式可分解为中有限个首项系数为1的不可约多项式与中常数之积。8．若两个多项式与的同次幂的系数均关于模同余，则称和对模同余，或模恒等，记作。9．设是一个素数，，则有证明：因为是一个素数，由费尔马小定理，有，则，又，所以，又，所以。设注：反复用可得二、例题分析例1．将多项式表示为两个次数不等的整系数多项式的平方差。例1．解：设，则由多项式相等的定义得出，，可解出，即例2．求出所有满足的实系数多项式。例2．解：设，其中。我们证明。假设不全为0，设是使的最大下标，由，得，比较的系数，得出，这

3、与，矛盾！因此上述的断言正确，即，又，则，所以例3．设是整数，证明：多项式被整除例3．对归纳，当时结论显然成立。设结果在时成立，即整除，则（用归纳假设）被整除。即结论对也成立。例4．设为正整数，证明：例4．例5．设。求多项式中项的系数。例5．由多项式乘法的定义易知，有三种方式产生：其一是上式右边一个因式中的与其余因式的常数项相乘，这共产生了个；其二右边一个因式中的，另一个因式中的及其余因式的常数项相乘，这共产生个；其三右边三个因式中的及其余因式的常数项相乘，这共产生个。所以项的系数为。三、同步检测1．设，，求被除得的商式和余式。1．商式是，余式是。2．在中，将表示为两个不同次数

4、的多项式的平方差。2．解：设，则由多项式相等的定义得出，，可解出，即3．设。证明：不存在，使中所有多项式被整除。3．注意中多项式的常数项均是偶数，如果中存在所说的，当常数项为0时，则，当常数项不为0时，则又有，这是不可能的。4．（i）设，是素数。证明：若，则或。（ii）若是合数，则存在，使得，，但。4．（i）如果结论不对，可设模的次数分别为和，则中的系数不被整除，从而。（ii）设，均是大于1的整数，则与，均有，，但显然5．试确定两个多项式与中，哪一个的的系数较大。5．设，，由于，故与中的系数，分别与及中的系数相同。因是非负系数的多项式，其展开式中诸的系数均为1，设共有个项，则中

5、的系数为；而在的展开式中项的个数也为，诸的系数为，又易知必有，因此中的系数小于。从而中的系数大于中的系数。6．(1990年巴尔干数学奥林匹克）研究由等式①所确定的多项式，证明：．6．当时，先计算，比较①两端次项的系数，得所以在①中令，得所以